Beweise zu Landau Symbole

Question

Beweisen oder widerlegen Sie die folgenden Aussagen.

1. \( f \in \mathcal{O}(g) \backslash \boldsymbol{o}(g) \Longrightarrow g \in \mathcal{O}(f) \)

2. Es gibt Funktionen \( f, g: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N} \) mit: \( f \notin \mathcal{O}(g) \) und \( g \notin \mathcal{O}(f) \)

Answer 1

Für 2:

\( f(n)=\left\{\begin{array}{cc}n^{3}, & \text { n tingerade } \\ n & , \text { n gerade }\end{array}\right\} \)

\( g(n)=\left\{\begin{array}{cc}\sqrt{n}, & \text { n thgerade } \\ n^{4} & , \text { n gerade }\end{array}\right\} \)

Kannst du beweisen, dass es gilt $$f \notin O(g) \text{und } g \notin O(f)$$

oder brauchst du Hilfe?