Gibt es negative Primzahlen?

Question

Ist mir grad eingefallen.

Per definition ist doch eine primzahl durch 2 fremde teiler.

Einmal durch eins und durch sich selbst.

Sagen wir mal -2

-1 und -2 und -2×1?

Answer 1

Per Definition sind Primzahlen natürliche Zahlen.

Comments

Ah ok

-5 wäre also keime primzahl mehr.

Warum sind primzahl natürliche zahlen?

Danke

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Nein, -5 ist keine Primzahl.
Man hat das eben so definiert, dass Primzahlen natürliche Zahlen sind. Sonst würde es z.B. keine eindeutige Primfaktorzerlegung mehr geben, wenn es auch negative Primzahlen gäbe.

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Das mit -5 meinte ich ja auch so;)

Ok warum ist es bloed wenn es mehr als eine eundeutige zerlegung gibt?

Answer 2

Schauu mal in ein Algebrabuch; ein Element x heißt Einheit, falls 1 / x existiert.

Ein Element p heißt unzerlegbar, falls

p = x  y  ===>  x ist Einheit oder y ist Einheit

p heißt prim, falls die Teilbarkeitsbedingung erfüllt kst

p  |  x  y  ===>  p  |  x   v  p  |  y        (  1  )

Jedes Primelement ist unzerlegbar - aber nicht umgekehrt ( siehe die einschlägige Literatur )

Auf ===> Hauptidealringen  ( HIR ) gilt auch die Umkehrung.

Jede Algebra, auf welcher  ===> Polynomdivision ( PD ) durchführbar ist, ist ein HIR - z.B. die ganzen Zahlen |Z .

Beachte; die PD erzwingt ja, dass jedes Ideal schon ein Hauptideal ist, das von seinem ggt erzeugt wird.

In diesem Zusammenhang hätten die ( positiven und negativen ) Primzahlen viel mehr Anspruch darauf, Primzahlen zu heißen.

Denn |N ist gerade KEIN  HIR  ; z.B. ist es nicht möglich, bei Beschränkung auf |N das von 3 und 5 erzeugte Ideal J ( 3 ; 5 ) etwa von dem ggt dieser beiden Zahlen zu erzeugen. Das scheitert ganz wesentlich daran, dass die Subtraktion auf |N nicht unbeschränkt ausführbar ist.

Im Übrigen gilt auf jedem HIR der Hasuptsatz der Zahlenteorie; d.h. jedes ringelement ist eindeutig zerlegbar in Primfaktoren - eindeutig bis auf Reihenfolge ( ein nicht triviales Beispiel: Polynome )

Comments

Ich bin relativ sicher, dass der Fragesteller nicht weiß, was ein Ideal, ein Ring oder eine Algebra ist.

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ich weiss schon was ein ring oder körper ist.ich studiere mathe(zwar bin ich im ersten semester aber dennoch^^)Was aber ein ideal sein soll weiss ich nicht. Das hatten wir noch nicht.

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Ach sieh an, war ich etwas voreilig :) Dann kannst du mit seiner Antwort vielleicht ja doch ein bisschen was anfangen.

Answer 3

Nein, es gibt leider keine negativen Primzahlen.1. Wenn man zwei negative Zahlen teilt, was bei der Probe gemacht werden muss, kommt ein positiver Quotient heraus.2. Negative Zahlen sind nicht Teil der Natürlichen Zahlenmenge. Laut Definition muss es aber eine natürliche Zahl sein.

Answer 4

So leid es mir tut, nein.

Negative Zahlen haben mehr als 2 Teiler.

Sollte die zu prüfende, im positiven eine Primzahl 

x = -5 sein, dann ergibt das die Teilermenge {1,5, -1, -5}.

Dies sind nachvollziehbare 4 Teiler.

Nach Definition aber dürfen Primzahlen nur 2 Teiler besitzen.