Koordinaten des Schnittpunktes S von Tangente an f und Gerade y=1.

Question

K ist der Graph der Funktion f mit   f(x)=e^x-2-1.
Die Tangente K an der Stelle x=2 schneidet die Gerade y=1 im Punkt S.

Und das ist auch meine Frage : Wie bestimme ich die Koordinaten von S ?
Ich verzweifle völlig an der Aufgabe...
Kann mir vielleicht jemand weiterhelfen?
Wäre suuuper lieb

Answer 1

"K ist der Graph der Funktion f mit   f(x)=e^x-2-1. 
Die Tangente K an der Stelle x=2 schneidet die Gerade y=1 im Punkt S. "

f(x) = e^{x-2} - 1

f ' (x) = e^{x-2}

f '(2) = e^{2-2} = e^0 = 1

Die Tangente hat die Steigung m=1.

Ansatz

K: y = 1*x + q

Berührungspunkt B

f(2) = e^{2-2} - 1 = 0

B(2|0) einsetzen.

0 = 1*2 + q ---> q = -2

K: y = x - 2

Nun Tangente an K mit y=1 schneiden.

1 = x-2

3 = x

y = x-2 ---> y=3-2 = 1.

S(3 | 1)

Answer 2

Um eine Tangente an einer Stelle zu bestimmen, brauchst du immer 2 Werte: die Steigung an der Stelle, und den y-Wert an der Stelle.

Der y-Wert ist f(2) = e^2-2 - 1 = e⁰ - 1 = 1 - 1 = 0.

Für die Steigung brauchst du erstmal die Ableitung, die ist
f'(x) = innere Ableitung · äußere Ableitung = 1 · e^x-2.

Setzt du 2 ein, kriegst du als Steigung:

f'(2) = e^2-2 = e⁰ = 1

Jetzt kommen wir zur Tangentengleichung. Die hat die Allgemeinform y = mx + b.
m ist die Steigung, die ist ja 1. Jetzt kannst du den berechneten y-Wert (0) und den gegebenen x-Wert (2) einsetzen, um auf b zu kommen:

0 = 1·2 + b | -2
b = -2

Die Tangentengleichung ist also y = 1x - 2 = x - 2.

Jetzt sollst du den Schnittpunkt mit der Geraden y = 1 bestimmen. Dafür setzt du die beiden einfach gleich:

1 = y = x - 2 | + 2
x = 3

Also ist der Schnittpunkt bei (3|1).

Ich hoffe, du konntest meine Lösung nachvollziehen.

LG derhaberer