Gebene Funktion f(x) = (-x^2-x+2)/(x^2+3x+2). Fläche von x=5 im 4. Quadranten?

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Funktion \( f: x \mapsto \frac{-x^{2}-x+2}{x^{2}+3 x+2} ; \quad D \subseteq \mathbb{R} \).

a) Ermitteln Sie die maximale Definitionsmenge und die Nullstellen der Funktion \( f \), stellen Sie den Funktionsterm \( f(x) \) in möglichst einfacher Form dar.

b) Ermitteln Sie das Verhalten der Funktion für \( x \rightarrow+\infty, x \rightarrow-\infty \) und in der Umgebung der Definitionslücken. Geben Sie die Art der Definitionslücken und die Gleichungen der Asymptoten an.

c) Zeichnen Sie den Graph \( G_{f} \) im Bereich \( |x| \leq 4 \).

d) Berechnen Sie die Maßzahl der Fläche, die von \( G_{f} \), der \( x \)-Achse und der Geraden \( x=5 \) im 4 . Quadranten begrenzt wird.

Answer 1

a)

Nullstelle(n):

f(x) = 0 -> -x² - x + 2 = 0 über pq-Formel kommen als potenzielle Nullstellen zunächst x_NS1 = 1 und x_NS2 = -2 raus

Bei gebrochen-rationalen Funktionen muss man hier immer noch den Nenner untersuchen:

->   x² + 3x + 2 = 0  über pq-Formel ergeben sich hier die Lösungen x₁ = -1 und x₂ = -2 (Polstellen)

Der Nenner darf nicht Null werden, sonst wäre die Funktion nicht definiert. Da eine Lösung aus der Nullstellenberechnung mit einer Lösung aus der Polstellenberechnung übereinstimmt (x = -2), müssen wir die Nullstelle für x= - 2 verwerfen. Es gibt somit nur eine Nullstelle bei x = 1.

Aus den oben ausgeführten Berechnungen kann die Funktion wie folgt auch geschrieben werden:

f(x) = (x - 1)*(x + 2)/[(x + 1)*(x + 2)] = (x - 1)/(x + 1)      <-  (vereinfachte Form)

Die Definitionsmenge ist demnach von -oo bis +oo mit Ausnahme für x = -1

b)

lim von f(x) für x gegen -oo ergäbe den unbestimmten Ausdruck -oo/(-oo) -> Lösung L'Hospital (= 1. Ableitung für Zähler und Nenner bilden)

-> (-1)/1 = -1

Das gleiche ergibt sich bei x gegen +oo

=> lim von f(x) für x gegen ±oo ist -1

Definitionslücken haben wir oben schon betrachtet, wo wir den Nenner auf Polstellen untersucht haben.

1. Definitionslücke bei x = -1 (1. Ordnung)

2. Definitionslücke bei x = -2 (hebbare Lücke, da sie mit einer Nullstelle übereinstimmt.)

lim in der Umgebung der 1. Defintionslücke: Wir nähern uns der - 1 von links und bleiben kurz vor - 1 stehen, sagen wir mal bei - 1,1. Dies setzen wir gedanklich in die ursprüngliche Funktion f(x) ein und erhalten -1100. Wenn wir eine noch kleinere Zahl (z.B. -1,0000001) einsetzen, merken wir, dass es gegen - oo geht.

Analog geht es auch von der anderen Seite von x = - 1. Dann geht die Sache gegen + oo.

Beidseitiger Grenzwert bei der hebbaren Defintionslücke =Funktionswert bei x = -2

Asymptoten:

Ergeben sich aus den oben durchgeführten Grenzwertbetrachtungen

Horizontale Asymptote: y = -1 (weil lim von f(x) für ±oo gegen -1 geht)

Vertikale Asymptote: x = - 1 (weil lim von f(x) für x = - 1 gegen ± oo  geht)

c) Das Zeichen erspare ich mir (im Intervall -4 ≤ x ≤ 4)

d) Ansatz: Integralrechnung

1. Suchen der Integrationsgrenzen:

4. Quadrant ist im Koordinatensystem rechts unten. Der Graph schneiden von 1. Quadranten kommend die x-Achse bei x = 1 (Nullstelle). Dies ist die untere Integrationsgrenze Die Gerade x = 5 (Vertikale) begrenzt die Fläche, die der Graph mit der x-Achse im 4. Quadranten bildet. Die obere Integrationsgrenze ist somit x = 5.

Es war f(x) = (x - 1)/(x + 1) das erstmal vereinfachen

f(x) = x/(x + 1) - 1/(x + 1)

Integration des ersten Terms über Substitution:

u = x +1 , dadurch ändern sich die Integrationsgrenzen zu u1 = 1 +1 = 2 und u2 = 5 +1 = 6

du/dx = 1

-> ∫₂⁶(u - 1)/u *du = ∫₂⁶(1 - 1/u) du = [u - ln(u)]₂⁶ = 6 - ln(6) - 2 + ln(2) =  4 - ln(6) + ln(2)

Integration des zweiten Terms

∫₁⁵-1/(x +1)*dx = -[ln(x + 1)]₁⁵ = -ln(6) + ln(2)

Summe: 4 - 2*ln(6) + 2*ln(2)  ≈ 1,8

Answer 2

Zähler und Nenner haben Nullstelle -2 also (x+2) ausklammern und kürzen

gibt  f(x) = (1-x) / (1+x) mit D = IR ohne {-1, -2 }

hebbare Lücke bei -2 mit rechts- und links Grenzwert -3

Polstelle bei -1 mit rechtsGrenzwert  + unendlich und lionks minus unendlich

Nullstelle von f bei 1.

Grenzwert für x gegen + oder - unendlich immer -1

Asymptoten y=-1 und x=-1

Fläche:

Integral von 1 bis 5 über f(x).

Stammfunktion ist wegen (1-x) / (1+x) = - (x+1)/(x+1) + 2 / (x+1) = -1 + 2 / (x+1

F (x)  = -x + 2*ln(x+1)

also Integral =  -4 + 2ln(3) ungefähr -1.8  also Fläche etwa 1,8.

Answer 3

f(x) = (- x^2 - x + 2)/(x^2 + 3·x + 2)

f(x) = ((1 - x)·(x + 2))/((x + 1)·(x + 2))

Stetige Ergänzung

f(x) = (1 - x)/(x + 1)

Skizze: