Fläche mithilfe von Integralen berechnen

Question

Beweisen Sie: Der Graph von f mit f(x) = x², die Tangente an f in P(a/f(a)) und die y-Achse begrenzen eine Fläche mit dem Inhalt A = 1/3 a².

Comments

Bestimme als Erstes die Gleichung der Tangente im Punkt  P(a/f(a)).

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Kann ich nicht

Answer 1

Zuerst mal die Tangente bestimmen :
Tangentengleichung :
g(x)=mx+b

m ist die Steigung.
Die Steigung muss im Punkt a gleich der Steigung von f(a) sein.
f'(x) =2x
f'(a) = 2a

m= 2a

Die Tangente geht durch den Punkt (a|f(a) ,also (a/a^2)
Also gilt doch:
a^2= 2a*a+b
Jetzt berechne b.

Jetzt deine Integrationsgrenzen berechnen :
Setze g(x) = 0 und f(x)= 0
Dann bekommst du die Grenzen für den ersten Teil der Fläche, jetzt fehlt dir noch ein Stück, und zwar das von der Nullstelle von g(x) bis zum Schnittpunkt von g(x) und f(x).
Da hast du die Grenzen des zweiten Integrals(Das von f(x)-g(x) ). Jetzt addiere beide Integrale.

Comments

Sind die Integrationsgrenzen nicht einfach 0 und a?

Man kann ja über f(x) - g(x) integrieren.

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Die grenzen sind 0 und a und das und das innere ist x²-a²

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Also wenn man die Grenzen von 0 bis a nimmt, hat man doch auch eine Fläche von der Tangente unterhalb des Graphens mit drin oder nicht?

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∫_o^a x^2 - (2ax - a^2) dx

∫_o^a x^2 -2ax +a^2 dx

= 1/3 * x^3 - ax^2+ a^2*x    |_o^a

= 1/3*a^3 -a^3 + a^3 - (0+0) = a^3/3

q.e.d. für den Fall a≥ 0.