Berechnen Sie alle Stammfunktionen von f. Konvergiert das Integral?

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Funktion \( f \) mit \( f(x)=\frac{1+\ln x}{x^{2}} \).

a) Geben Sie den maximalen Definitionshereich \( D(f) \) und die Nullstellen von \( f \) an.

Berechnen Sie \( \lim \limits_{x \rightarrow \infty} f(x) \) und \( \lim \limits_{x \rightarrow 0+} f(x) \) mit Werten in \( \mathrm{R} \cup(\pm \infty) \).

b) Berechnen Sie die Stellen der relativen Extrema von \( f . \)

Sind die relativen Extrema von \( f \) Minima oder Maxima?

Geben Sie den Wertebereich \( W(f) \) an.

c) Besitzt die Einschränkung von \( f \) auf das Intervall \( [1, \infty) \) eine Umkehufunktion ? (wit thegruntane) (Berechnung der Umkehrfunktion ist nicht verlangt, falls sie existiert.)

d) Berechnen Sie alle Stammfunktionen von \( f \).

e) Konvergiert das Integral \( \int \limits_{1}^{\infty} f(x) d x \)? Berechnen Sie gegebenenfalls den Wert.

Answer 1

partielle Integration mit v=(1 + ln(x) und u' = 1 / x^2  gibt  v ' = 1 / x  und u = -1/x

also Integral =   u * v    -    Int. v ' * u

= (1 + ln(x) * (-1/x)  -   int  1/x* (-1/x) dx

= -1/x - ln(x) / x + Int 1/x^2 dx

= -1/x - ln(x) / x  - 1/x  =   (-2- ln(x)) / x und für alle dahinter noch + C.

und jetzt das Int. von 1 bis z gibt -ln(z) / z - 2/z + 2

und für z gegen unendlich hat das den GW 2, also existiert das Int. und hat Wert 2

Den Teil  - ln(z) / z kann man eventuell mit D'Hospital nach als gegen Null

gehend nachweisen für z gegen unendlich.