Das folgende Integral bestimmen

Question

Hallo an alle!

Wie kann ich hier dieses Integral am einfachsten lösen? Der Integralrechner hat mir zwar einen Rechenweg vorgeschlagen, aber den konnte ich nicht nachvollziehen. Gibt‘s da einen einfacheren Weg wie man dieses Integral hier lösen kann?

Aufgabe: Bestimme das folgende Integral

 \( \int \limits_{-1}^{1} \frac{x^{2}}{\sqrt{1-x^{2}}} d x \)

Answer 1

War es dieser Rechner?

https://www.integralrechner.de/

Der ist eigentlich sehr gut.

Comments

Und wenn Fragen zu einer Umformung sind, kannst du auch mit Detailangaben hier nachfragen.

Answer 2

Ein recht einfacher Weg ist partielle integration, wenn man erkennt, dass$$\left(\sqrt{1-x^2}\right)' = -\frac x{\sqrt{1-x^2}}$$

Also,$$\int_{-1}^1\frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}dx=\int_{-1}^1x\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}dx$$$$= \underbrace{\left. -x\sqrt{1-x^2}\right|_{-1}^1}_{=0} + \int_{-1}^1\sqrt{1-x^2}\;dx$$

Entweder, man sieht nun, dass \(\int_{-1}^1\sqrt{1-x^2}\;dx\) die Fläche des Halbkreises mit Radius 1 um \((0,0)\) ist, also $$\int_{-1}^1\sqrt{1-x^2}\;dx = \frac{\pi}2$$ oder man substituiert zum Beispiel \(x= \cos t,\: t\in [0,\pi]\) und erhält $$\int_{-1}^1\sqrt{1-x^2}\;dx \stackrel{x=\cos t}{=} -\int_{\pi}^0\sin^2 t\;dt$$$$\stackrel{\sin^2 t = \frac 12(1-\cos 2t)}{=} \frac 12\int_{0}^\pi (1-\cos 2t)\;dt= \frac\pi 2$$

Answer 3

Aloha :)

Der Integrand ist achsensymmetrisch zur y-Achse, denn:$$f(x)\coloneqq\frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}\implies f(-x)=\frac{(-x)^2}{\sqrt{1-(-x)^2}}=\frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}=f(x)$$Daher können wir das Integral umformen:$$I=\int\limits_{-1}^1\frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}\,dx=\int\limits_0^1\frac{2x^2}{\sqrt{1-x^2}}\,dx$$Nun substituiere \(x=\sin(u)\) bzw. \(u=\arcsin(x)\):$$\frac{dx}{du}=\cos(u)\quad;\quad u(0)=\arcsin(0)=0\quad;\quad u(1)=\arcsin(1)=\frac\pi2$$und schreibe das Integral entsprechend um:$$I=\int\limits_{0}^{\pi/2}\frac{2\sin^2u}{\sqrt{1-\sin^2u}}\,\cos u\,du=\int\limits_{0}^{\pi/2}\frac{2\sin^2u}{\sqrt{\cos^2u}}\,\cos u\,du=\int\limits_0^{\pi/2}2\sin^2u\,du$$$$\phantom I=\int\limits_0^{\pi/2}\left(1-\cos(2u)\right)du=\left[u-\frac{\sin(2u)}{2}\right]_{0}^{\pi/2}=\frac\pi2$$

Comments

Warum substituiert man x mit sin(u) und warum ist u=arcsin(x) ? Sind das irgendwelche Regeln, die man merken muss?

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Du kennst doch bestimmt das Standardintegral$$\int\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,dx=\arcsin(x)+\text{const}$$Daher ist die Substitution \(u=\arcsin(x)\) bzw. \(x=\sin u\) naheliegend.

Wenn man weiß, wo man mit dem Integral hin muss, kriegt man oft schnell eine Idee, welche Substitution zum Ziel führen kann.