Ist das möglich einen linearen Operator zu finden, der zwei verschiedene Vektoren in (1 0)T abbildet?

Question

Sei A ∈ R^2x2  und det(A)=6.

a) Ist das möglich einen linearen Operator zu finden, der zwei verschiedene Vektoren in (1 0)^T abbildet?
Wenn ja, finden Sie einen solchen linearen Operator.

b) Was ist die Determinante eines Operators, der die x-Komponente jedes Vektors um den Faktor 4 skaliert und das Vorzeichen der y-Komponente ändert?

c) Was sind die einzigen zwei reellen Eigenwerte, die eine Drehung in der 2-dimensionalen Ebene haben könnte? Bei welchen Drehwinkeln würde das passieren?

d) Ist das möglich einen linearen Operator zu finden, der (2 3)^T auf (1 2)^T und (5 6)^T auf (3 6)^T abbildet.
Wenn ja, finden Sie einen solchen linearen Operator.

Hat jemand eine Idee? Danke

Answer 1

Sei A ∈ R2x2  und det(A)=6. Kommt unten nicht vor, irrelevant ?

a) Probiere mal \( \left(\begin{array}{rr}1&1\\0&0\\\end{array}\right)\)

und bilde die kanonischen Basisvektoren ab.

b) Probiere mal \( \left(\begin{array}{rr}4&0\\0&-1\\\end{array}\right)\) hat Det=4.

c) Damit es bei der Abbildung f einen Eigenwert k gibt, muss es Vektoren v≠0 geben

mit f(v)=k*v.

Beim Drehen kann also nur k=1 oder k=-1 in Frage kommen. Winkel 0° oder 180°

ggf. noch plus Vielfache von 360°.

d) \( \left(\begin{array}{rr}a&b\\c&d\\\end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{rr}2\\3\\\end{array}\right) = \left(\begin{array}{rr}1\\2\\\end{array}\right) \)  und

\( \left(\begin{array}{rr}a&b\\c&d\\\end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{rr}5\\6\\\end{array}\right) = \left(\begin{array}{rr}3\\6\\\end{array}\right) \)

gibt 4 Gleichungen für a,b,c,d. Rechne aus, du hast die Werte.

Comments

achso so ist mit linear Operator gemeint. Dann ist Teil d) ähnlich wie a). Vielen Dank