Aus einer Probeklausur zu einer Matrix, zur Angabe einer linearen Abbildung und zum finden eines Unterraums

Question

Huhu,

ich benötige eine Erklärung zur folgenden Aufgabe mit der Musterlösung.

Aufgabe:

Man finde folgendes:

$$(a)\,Finden\:Sie\:eine\:Matrix\:A\in\,M(2\times3,\mathbb{R}),\:sodass\:det(A\cdot A^T)\,\neq\,0,\:aber\:det(A^T \cdot A)\,=\,0\:ist.\\(b)\:Geben\:Sie\:eine\:lineare\:Abbildung\:f:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}^3\:mit\:rang(f)\,>\,0\:an,\:die\:weder\:injektiv\:noch\:surjektiv\:ist.\\(c)\:Finden\:Sie\:einen\:Unterraum\:von\:(\mathbb{F_2})^4,\:der\:4\:Elemente\:enthält.$$

Musterlösung:

$$(a)\:Eine\:Möglichkeit\:wäre\:a\,=\,\begin{pmatrix} 1&0&0\\0&1&0 \end{pmatrix}.\\(b)\:Ein\:Beispiel\:wäre\:f:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}^3,\:(x,y)^T\longmapsto(x,0,0)^T.\\(c)\:Ein\:möglicher\:Unterraum\:von\:(\mathbb{F_2})^4\:wäre\:z.B.\:U\,=\,\langle \begin{pmatrix} 1\\0\\0\\0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0\\1\\0\\0 \end{pmatrix} \rangle\,=\,\{ \begin{pmatrix} 1\\0\\0\\0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0\\1\\0\\0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1\\1\\0\\0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0\\0\\0\\0 \end{pmatrix} \}.$$

Ich weiß leider nicht wie ich zu dieser Musterlösung komme. Kann mir hier jemand mit Erklärungen helfen?

Beste Grüße und vielen Dank

Cellrok

Answer 1

a) A ist eine 2x3-Matrix, also ist diese in folgender Form $$A=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\  a_{21} & a_{22} & a_{23}\end{pmatrix}$$ Dann haben wir folgende Matrizen $$A\cdot A^T=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\  a_{21} & a_{22} & a_{23}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a_{11} & a_{21} \\ a_{12} & a_{22} \\ a_{13}& a_{23}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_{11}^2+a_{12}^2+a_{13}^2 & a_{11}a_{21}+a_{12}a_{22}+a_{13}a_{23} \\ a_{11}a_{21}+a_{12}a_{22}+a_{13}a_{23} & a_{21}^2+a_{22}^2+a_{23}^2\end{pmatrix}$$
$$A^T\cdot A=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{21} \\ a_{12} & a_{22} \\ a_{13}& a_{23}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\  a_{21} & a_{22} & a_{23}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_{11}^2+a_{21}^2 & a_{11}a_{12}+a_{21}a_{22} & a_{11}a_{13}+a_{21}a_{23} \\ a_{11}a_{12}+a_{21}a_{22} & a_{12}^2+a_{22}^2 & a_{12}a_{13}+a_{22}a_{23} \\ a_{11}a_{13}+a_{21}a_{23} & a_{12}a_{13}+a_{22}a_{23} & a_{13}^2+a_{23}^2\end{pmatrix}$$

Sodass det(A·A^T ) ≠ 0 muss die Matrix A·A^T keine Nullzeile oder Nullspalte haben. Sodass det(A·A^T ) = 0 muss die Matrix A·A^T eine Nullzeile oder eine Nullspalte haben. Wenn wir zum Beispiel annehmen dass die dritte Spalte eine Nullspalte ist dann muss folgendes gelten $$a_{11}a_{13}+a_{21}a_{23}=0 \\ a_{12}a_{13}+a_{22}a_{23}=0 \\ a_{13}^2+a_{23}^2=0$$ Von der dritten Gleichung bekommen wir a₁₃ = a₂₃ = 0. Die Elemente a₁₁, a₂₁, a₁₂, a₂₂ kann man beliebig wählen, man muss nur aufpassen dass die Matrix A·A^T keine Nullspalte oder Nullzeile bekommt. Zum Beispiel kann man folgende Werte wählen $$a_{11}=1, \ \ a_{12}=0, \ \ a_{21}=0, \ \ a_{22}=1$$ Somit bekommen wir die Matrizen $$A\cdot A^T=\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix} \ \ \text{ und } \ \ A^T\cdot A=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0& 0 & 0\end{pmatrix}$$ 

b) Es gilt dass f(x,y) = f(x,-y), somit ist die Abbildung nicht injektiv. Es gilt dass (1, 1, 1) ∈ ℝ³ aber (1, 1, 1) ∉ Bild(f), somit ist die Abbildung nicht surjektiv. 

c) (F₂)⁴ enthält 16 Elemente: $$\left \{ \begin{pmatrix}0\\ 0 \\ 0\\ 0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1\\ 0 \\ 0\\ 0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0\\ 1 \\ 0\\ 0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0\\ 0 \\ 1\\ 0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0\\ 0 \\ 0\\ 1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1\\ 1 \\ 0\\ 0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1\\ 0 \\ 1\\ 0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1\\ 0 \\ 0\\ 1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0\\ 1 \\ 1\\ 0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0\\ 1 \\ 0\\ 1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0\\ 0 \\ 1\\ 1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1\\ 1 \\ 1\\ 0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1\\ 1 \\ 0\\ 1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1\\ 0 \\ 1\\ 1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0\\ 1 \\ 1\\ 1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1\\ 1 \\ 1\\ 1\end{pmatrix}\right \}$$ Wir wollen jetzt einen Unterraum bestimmen das aus 4 von diesen Vektoren entsteht.