Zeigen Sie mit Hilfe des Vergleichskriteriums, dass das uneigentliche Integral konvergiert.

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die von einem Parameter \( a \in \mathbb{R} \) abhängige Funktion \( f_{a} \) mit \( f_{2}(x)=\frac{\arctan (2 x)}{x^{2}} \) für \( x>0 \)

a) Berechnen Sie \( \lim \limits_{x \rightarrow \infty} f_{a}(x) \) mit Werten in \( \mathbb{R} \cup\{\pm \infty\} \) in Abhängigkeit von a \( \in \mathbb{R} \).

b) Berechnen Sie \( \lim \limits_{x \rightarrow 0+} f_{a}(x) \) mit Werten in \( \mathbb{R} \cup\{\pm \infty\} \) für die 4 Fälle \( a=0, a=1,0<a<1, a>1 . \)

c) Zeigen Sie mit Hilfe des Vergleichskriteriums, dass das uneigentliche Integral \( \int \limits_{1}^{\infty} f_{a}(x) d x \) far \( a>1 \) konvergiert.

Answer 1

1. Was ist \( \lim \limits_{x\to \infty} \arctan(2x)\)?

2. Was ist \( \lim \limits_{x \to \infty} x^a \), wenn

   2.1) \(a >0 \)

   2.2) \(a = 0 \)

   2.3) \(a < 0 \)?

3. Erkenntnis verbinden.

Gruß

Comments

Also arcant(2x).

Ist ja oben unten beschränkt mit 2 in diesem fall.

Aber was mache ich mit x^a? Bei der a) ? Wie gross ist a in diesem fall?

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arctan ist nicht durch 2 sondern durch pi/2 beschränkt.
Es ist unwichtig wie genau a aussiehst sondern nur die Fallunterscheidung ist wichtig. Als Beispiel:
Wenn \( a >0 \) dann geht \(x^a \to \infty\) für \( x \to \infty\). Die anderen 2 Fälle müssest du selbst schaffen.