Berechnen des Grenzwertes von Funktionen

Question

brauche Hilfe bei folgender Aufgabe:

Berechne den Grenzwert für x -> ∞ für die Funktion

$$ g\left( x \right) =\frac { (\sqrt { x } -3)^{ 4 } }{ \sqrt { x^ 5 } +2 } $$

Wäre nett, wenn ihr mir den Lösungsweg ausführlich zeigt (verkürzten habe ich schon, kann ich jedoch nicht nachvollziehen).

Vielen Dank schonmal!

Answer 1

(√x - 3)^4 = x^2 - 12·x^{3/2} + 54·x - 108·√x + 81 [Betrachtet werden braucht eigentlich nur die höchste Potenz.]

x^{5/2} + 2

Du könntest x^2 ausklammern und kürzen und siehst das der Nenner immer noch gegen unendlich strebt. Daher ist der Grenzwert 0.

Answer 2

Hi, durch Vergrößern des Zählers und Verkleinern des Nenners ergibt sich für genügend große \(x\) eine einfache Majorante, die gegen Null konvergiert:
$$ g\left( x \right) = \frac { \left(\sqrt { x } -3\right)^{ 4 } }{ \sqrt { x^ 5 } +2 } \le \frac { \left(\sqrt { x } \right)^{ 4 } }{ \sqrt { x^ 5 } } = \sqrt{\frac { x^4 }{ x^5 }} = \frac { 1 }{ \sqrt{x} } \quad\rightarrow\quad 0. $$