Welche Maße muss der Behälter erhalten, wenn die Materialkosten minimiert werden sollen? (Extremalproblem)

Question

Aufgabe:

Ein zylindrischer Behalter für \( 1000 \mathrm{~cm}^{3} \) Schmierfett hat einen Mantel aus Pappe, während Deckel und Boden aus Metall sind. Das Metall ist pro \( \mathrm{cm}^{2} \) viermal so teuer wie die Pappe.

Welche Maße muss der Behälter erhalten, wenn die Materialkosten minimiert werden sollen?

Mein Ansatz:

1000 = πr²h
y = 2πrhx + 2πr²4x
y = 2πrhx + 8πr²x

h = 1000π1/r ( in y )

y = 2000x1/r + 8πr²x
y'(x) = 2000 1/r + 8πr²
y'(x) = 0
0= 2000 1/r + 8πr² | x r
0= 2000r + 8πr³    r = 0 (entfällt)
8πr² = - 2000
r² = -250π

Und von einer negativen Zahl kann man ja keine Wurzel ziehen.

Comments

Wo steckt der Fehler ?

1000 = π * r^2 * h
y = 2πrhx + 2πr²4x
y = 2πrhx + 8πr²x
was ist das für ein x ?

h = 1000π1/r ( in y )  ???
Aus
1000 = π * r^2 * h
wird
h = 1000 / ( π * r^2 )

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dachte man muss 4x schreiben weil es 4mal mehr kostet.

Answer 1

V = pi·r^2·h = 1000

h = 1000/(pi·r^2)

K = 4·2·pi·r^2 + 1·2·pi·r·h = 4·2·pi·r^2 + 1·2·pi·r·(1000/(pi·r^2)) = 8·pi·r^2 + 2000/r

K' = 16·pi·r - 2000/r^2 = 0

r = 5/pi^{1/3} = 3.413920316

h = 1000/(pi·r^2) = 1000/(pi·(5/pi^{1/3})^2) = 40/pi^{1/3} = 8 * r

Die Höhe sollte 8 mal so groß sein wie der Radius.

Comments

ok, dankeschön. also auch wenn es in der aufg heißt "4mal teurer" braucht man nicht 4x schreiben sondern einfach nur mit 4 multiplizieren?

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Genau. Ich tu so als wenn der Quadratzentimeter Metall dann 4 GE und der Quadratzentimeter Pappe 1 GE kostet. Also bilde ich dann die Preise der Rohstoffe für die benötigte Fläche und minimiere das.