Welche Maße muss der Behälter erhalten, wenn die Materialkosten minimiert werden sollen?

Question

Aufgabe:

Ein zylindrischer Behälter für 1000 cm³ Schmierfett hat einen Mantel aus Pappe während Deckel und Boden aus Metall sind. Das Metall ist pro cm² vier mal so so teuer wie die Pappe.

Welche Maße muss der Behälter erhalten, wenn die Materialkosten minimiert werden sollen?

Answer 1

V= r^2*pi*h =1000
h= 1000/(r^2*pi)

O=2* r*pi*h +2r^2*pi*4

O(h)= 2*r*pi*1000/(r^2*pi)+8*r^2*pi

O(h)= 2000/r+8r^2*pi

O'(h) = -2000/r^2+16r^2*pi =0

-2000= -16r^3*pi

r^3 =2000/(16*pi) = 125/pi

r= (125/(3*pi))^{1/3} = 3,41 cm

h= 27,31cm

Answer 2

Ein Zylindrischer Behälterer für 1000cm³ Schmierfett hat einen Mantel aus Pappe, während Deckel und Boden aus Metall sind. Das Metall ist pro cm² viermal so teuer wie die Pappe. Welche Maße muss der Behälter erhalten, wenn die Materialkosten minimiert werden sollen?

Zyl. hat Radius r und Höhe h.  alles in cm

wegen Vol = 1000 gilt   1000= r^2 * pi * h

also h = 1000 / (r^2 * pi )

Mantel hat  u*h = 2*pi*r*h mit h eingesetzt   2*pi*r *1000 / (r^2 * pi ) = 2000/r

Deckel und Boden sind 2* 2*r*pi =  4*r*pi

wegen der 4-fachen Kosten sind die gesamtkosten proportional zu

   K(x)  =  4* 4*r*pi + 2000/r     Hiervon mit K ' (x) = 0 etc das Minimum bestimmen.

Answer 3

Ein zylindrischer Behälter für 1000 cm³ Fett hat einen Mantel aus Pappe während Deckel und Boden aus Metall sind. Das Metall ist pro cm² vier mal so so teuer wie die Pappe. Welche Maße muss der Behälter erhalten wenn die Materialkosten minimiert werden sollen?

V = pi·r^2·h = 1000 --> h = 1000/(pi·r^2)

K = (2·pi·r^2)·4 + (2·pi·r·h) = 2·pi·h·r + 8·pi·r^2 = 2·pi·(1000/(pi·r^2))·r + 8·pi·r^2

K = 8·pi·r^2 + 2000/r

K' = 16·pi·r - 2000/r^2 = 0 --> r = 5/pi^{1/3} = 3.414

h = 1000/(pi·r^2) = 1000/(pi·(5/pi^{1/3})^2) = 40/pi^{1/3} = 27.31 cm

Dann ist die Höhe 8 mal so groß wie der Radius.

Comments

Wie bist du auf die extremstelle r gekommen, rechenschritte wären hilfreich!

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Wie bist du auf die extremstelle r gekommen, rechenschritte wären hilfreich!

Löse die Gleichung

16·pi·r - 2000/r^2 = 0

Keiner Tipp. Multipliziere zunächst mit dem Nenner. Du kannst auch eine App wie Photomath zur Hilfe nehmen.

Answer 4

Kosten pro cm^2 der Pappe k. , Metall 4k

Fläche Metall 2*π*r^2 kosten  Kme =4k*2*π*r^2, Mantel 2πr*h, Kosten  Kp=k*2πr*h,

Kosten K=Kme+Kp das muss maximiert werden,

Nebenbedingung: Volumen=1000cm^3 daraus r oder h in K einsetzen.

k kürzt sich beim suchen des Max, du kannst es auch einfach weglassen und nur mit 1 ud 4 rechnen.

Gruß lul