Ein Zylindrischer Behälterer für 1000cm³ Schmierfett hat einen Mantel aus Pappe, während Deckel und Boden aus Metall sind. Das Metall ist pro cm² viermal so teuer wie die Pappe. Welche Maße muss der Behälter erhalten, wenn die Materialkosten minimiert werden sollen?
Zyl. hat Radius r und Höhe h. alles in cm
wegen Vol = 1000 gilt 1000= r^2 * pi * h
also h = 1000 / (r^2 * pi )
Mantel hat u*h = 2*pi*r*h mit h eingesetzt 2*pi*r *1000 / (r^2 * pi ) = 2000/r
Deckel und Boden sind 2* 2*r*pi = 4*r*pi
wegen der 4-fachen Kosten sind die gesamtkosten proportional zu
K(x) = 4* 4*r*pi + 2000/r Hiervon mit K ' (x) = 0 etc das Minimum bestimmen.