Zeigen Sie, dass die Funktion auf ganz [0, ∞) stetig und positiv ist und für alle a>0 … erfüllt ist.

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass die Funktion

\( f:[0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}, \quad f(x)=\left\{\begin{array}{ll} x^{x} & \text { für } x>0 \\ 1 & \text { für } x=0 \end{array}\right. \)

auf ganz \( [0, \infty) \) stetig und positiv ist und für alle \( a>0 \)

\( \lim \limits_{x \rightarrow \infty} \frac{f(x)}{\exp _{a}(x)}=\infty \)

erfüllt.

Zeigen Sie außerdem, dass \( f \) auf \( [1, \infty) \) strikt monoton wachsend ist.

Zusatz: Tatsächlich ist \( f \) auf \( \left[0, \frac{1}{x}\right] \) strikt monoton fallend und auf \( \left[\frac{1}{n}, \infty\right) \) strikt monoton wachsend. Können Sie auch dies zeigen?

Answer 1

Hi,

1. \( f(x) = e^{x \ln x} \)

$$ \lim \limits_{x \to 0} x \ln(x) = 0 \Rightarrow \lim \limits_{x \to 0} f(x) = 1 $$

2. \( \forall a>0: \quad \lim \limits_{x \to \infty} x( \ln(x)-\ln(a)) = \infty \)

$$ \Longrightarrow \lim \limits_{x \to \infty} \frac{f(x)}{exp_a(x)} = \infty \quad \forall a > 0$$

3. \( f'(x) = (\ln(x) +1)x^x \)

$$ f'(x) > 0 \quad \forall x > \frac{1}{e}$$

$$ f'(x) < 0 \quad \forall x \in \left(0, \frac{1}{e} \right) $$

Gruß