Rotationen in der Ebene - Welche Rotation wird durchgeführt?

Question

Die Matrix

$$A\quad =\quad \left( \begin{matrix} sin(\varphi ) & cos(\varphi ) \\ -cos(\varphi ) & sin(\varphi ) \end{matrix} \right) $$

ist eine Rotationsmatrix der Ebene. Welche Rotation wird für ein festes φ ∈ ℝ realisiert?

Leider kann ich hiermit nichts anfangen. Zuvor habe ich so etwas in einer 3x3 Matrix bestimmen müssen.
Im Netz habe ich nach einer Formel für R<x> sowie R<y> gesucht doch leider finde ich diese nicht..

Wie genau muss ich hier rangehen?

Answer 1

Nimm doch einfach mal (1;0) und multipliziere die Matrix mit diesem, das
gibt   sin(phi) , -cos(phi)
also für phi=0 ist es bei  (0;-1) und für zunehmendes phi bewegt sich die Spitze des Vektors dann
auf dem Einheitskreis in negativer Richtung.

Also ist das eine Drehung um 270° + phi bzw  3/2pi + phi.

Musst du vielleicht mit (0;1) auch mal probieren.

Comments

Ist es auch so Erklärbar?:

Zuerst die Rechnung:
$${ M }_{ \varphi =0 }\quad =\quad \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}*\left( \begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix} \right) =\quad \left( \begin{matrix} 1 \\ -1 \end{matrix} \right) $$

Meine Antwort wäre dann: Da x = 1 ist, ist die Rotation auf der X-Achse positiv und bei y = -1 die Rotation auf der Y-Achse negativ.

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Das klingt aber komisch, ich würde eher so sagen:

aus (1/1) wird ((1/-1) also ist es für phi = 0 eine Rot. um 270° oder -90°

es wird ja jedenfalls um den Nullpunkt gedreht.

Und damit du weisst, ob linksherum oder rechtsherum gedreht wird,

brauchst du noch einen weiteren Fall, etwa phi=pi oder so.

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Wie genau kommst du auf diese 270° bzw. -90° ?

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Zeichne dir doch bei deinem Beispiel mal den Vektor (1/1) als Pfeil von

vom Punkt (0/0) zum Punkt (1/1) in ein Koordinatensystem. und jetzt drehe den

Pfeil und halte dabei den Nullpunkt fest, bis die Spitze bei (1/-1) liegt,

dann siehst du es.

Das war dein Beispiel: aus (1/1) wird ( 1/-1).

Jetzt mach das mal mit einem anderen Wert als phi=0.

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Nehme ich z.B. phi = pi
dann kommt am Ende:
[1,053 ; -0,947] raus.
Doch nehme ich 3/2pi + pi = 5/2pi