Aloha :)
Wir betrachten das Produkt der Rotationsmatrizen \(R_x,R_y,R_z\) mit ihren transponierten Matrizen:
$$R_x\cdot R_x^T=\left(\begin{array}{c}1 & 0 & 0\\0 &\cos\alpha &-\sin\alpha\\0& \sin\alpha & \cos\alpha\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}1 & 0 & 0\\0 &\cos\alpha &\sin\alpha\\0& -\sin\alpha & \cos\alpha\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1 & 0 & 0\\0 &1 & 0\\0& 0 & 1\end{array}\right)$$$$R_y\cdot R_y^T=\left(\begin{array}{c}\cos\beta & 0 & -\sin\beta\\0 & 1 & 0\\\sin\beta & 0 & \cos\beta \end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}\cos\beta & 0 & \sin\beta\\0 & 1 & 0\\-\sin\beta & 0 & \cos\beta\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1 & 0 & 0\\0 &1 & 0\\0& 0 & 1\end{array}\right)$$$$R_z\cdot R_z^T=\left(\begin{array}{c}\cos\gamma & -\sin\gamma & 0\\\sin\gamma &\cos\gamma &0\\0& 0 & 1\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}\cos\gamma & \sin\gamma & 0\\-\sin\gamma &\cos\gamma &0\\0& 0 & 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1 & 0 & 0\\0 &1 & 0\\0& 0 & 1\end{array}\right)$$
Wir wählen eine beliebige Reihenfolge der Hintereinanderausführung der Einzelrotationen und nummerieren sie der Einfachheit halber durch. Sei also im Folgenden$$R:=R_1R_2R_3\in\{R_xR_yR_z, R_xR_zR_y, R_yR_xR_z, R_yR_zR_x, R_zR_xR_y, R_zR_yR_x\}$$dann gilt:$$R\cdot R^T=(R_1R_2R_3)(R_1R_2R_3)^T=R_1R_2R_3(R_3^TR_2^TR_1^T)=R_1R_2(R_3R_3^T)R_2^TR_1^T$$$$\phantom{R\cdot R^T}=R_1R_2(1)R_2^TR_1^T=R_1(R_2R_2^T)R_1^T=R_1(1)R_1^T=R_1R_1^T=1$$Damit haben wir gezeigt:$$R\cdot R^T=1\;\;\text{bzw.}\;\;R^T=R^{-1}$$
