Inverse Matrix A - Für welche a ist A nicht inventierbar?

Question

Ersteinmal die Matrix:
$$A\quad =\quad \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 6 & a \end{pmatrix}$$

a) In dieser Matrix soll alle a bestimmt werden die A nicht inventierbar machen.

Zudem soll in b) überprüft werden ob einem die Determinante dabei hilft.

Meine Rechnung:

1. Determinante von A bestimmen
3a - 6 = 0
a = 2

2. Inverse Matrix bilden:
$$A\quad =\quad \left( \begin{matrix} 3 & 1 \\ 6 & a \end{matrix}|\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) \begin{matrix} :3 \\  \end{matrix}->\quad \left( \begin{matrix} 1 & \frac { 1 }{ 3 }  \\ 6 & a \end{matrix}|\begin{matrix} \frac { 1 }{ 3 }  & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) \begin{matrix}  \\ II-6*I \end{matrix}\\ \left( \begin{matrix} 1 & \frac { 1 }{ 3 }  \\ 0 & -2a \end{matrix}|\begin{matrix} \frac { 1 }{ 3 }  & 0 \\ -2 & 1 \end{matrix} \right) \begin{matrix}  \\ :(-2a) \end{matrix}->\quad \left( \begin{matrix} 1 & \frac { 1 }{ 3 }  \\ 0 & 1 \end{matrix}|\begin{matrix} \frac { 1 }{ 3 }  & 0 \\ a & -\frac { a }{ 2 }  \end{matrix} \right) \begin{matrix} I-\frac { 1 }{ 3 } *II \\  \end{matrix}\\ \\ \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}|\begin{matrix} \frac { -a }{ 3 }  & \frac { a }{ 6 }  \\ a & -\frac { a }{ 2 }  \end{matrix} \right) \\ Inventierte\quad Matrix:\\ \left( \begin{matrix} \frac { -a }{ 3 }  & \frac { a }{ 6 }  \\ a & -\frac { a }{ 2 }  \end{matrix} \right) $$

Wie muss ich nun weiter vorgehen? Wenn ich die Deteminante bilde von dieser neuen Matrix kommt am ende 0 = 0 raus..

Comments

Zitat: Wie muss ich nun weiter vorgehen? Wenn ich die Deteminante bilde von dieser neuen Matrix kommt am ende 0 = 0 raus..

Nein, es ist:
$$ \det\left( \begin{matrix} \frac { -a }{ 3 }  & \frac { a }{ 6 }  \\ a & -\frac { a }{ 2 }  \end{matrix} \right) = \frac { 2a^2 }{ 3 }$$

Answer 1

Du hast dich beim 2. Schritt vertan, das gibt

1   1/3    1/3    0
o  -2+a    -2     1

und wenn du damit weitermachst ist die Inverse

a / (3a-6)     -1/(3a-6)
-2 / (a-2)       -2 / (a-2)

und das geht natürlich alles nur, wenn a ungleich 2 ist.

d.h. Für a=2 ist die Matrix nicht invertierbar und
das zeigt auch deine erste Überlegung:
Für a=2 ist die Det = 0.