Aloha :)
Die Multiplikation der Matrix \(A\) mit einem beliebigen Vektor \(\binom{x}{y}\) sieht so aus:$$A\cdot\binom{x}{y}=\begin{pmatrix}1 & 2\\2 & 4\end{pmatrix}\cdot\binom{x}{y}=x\binom{1}{2}+y\binom{2}{4}=(x+2y)\cdot\binom{1}{2}$$
Der 2-dimensionale Eingangsvektor \(\binom{x}{y}\) wird durch die Matrix auf eine 1-dimensionale Gerade abgebildet. Wir verlieren die Information über eine der Dimensionen.
Z.B. kann der Bildvektor \(\binom{3}{6}\) durch verschiedene Argumente zusande gekommen sein:$$\binom{3}{6}=3\binom{1}{2}=\underbrace{(1+2\cdot1)}_{\binom{1}{2}}\binom{1}{2}=\underbrace{(3+2\cdot0)}_{\binom{3}{0}}\binom{1}{2}=\underbrace{(-1+2\cdot2)}_{\binom{-1}{2}}\binom{1}{2}$$
Daher ist keine eindeutige Umkehrung möglich.
Die Dimension des Bildes muss gleich der Dimension der Eingangsvektoren sein, damit eine Matrix invertiert werden kann. Das ist genau dann der Fall, wenn die Determinante der Matrix ungleich Null ist. Mit diiesem Kriterium kann man die Invertierbarkeit einer Matrix schnell prüfen. Die Determinante der Matrix \(A\) ist gleich Null.
