Warum gilt diese Umformung einer Matrix-Gleichung (Inverse, Transponierte)?

Question

Hi. Ich habe keine Aufgabe, sondern eine Frage bzgl. einer Umformung. Es geht um folgende Gleichung:

(J^T J + λ² E)^-1 J^T  =   J^T (J J^T + λ² E)^-1

J ist eine m x n (Jacobi-)Matrix, J^T die Transponierte. Also ist J^T J ist eine n x n symmetrische Matrix und E die n x n Einheitsmatrix. λ ist ein kleiner Skalar > 0. Beachte das rechts in der Klammer J J^T steht. Es ist vorgegeben, dass (J^T J + λ² E) regulär ist, darum existiert die Inverse.

Problem: Über welche Gedankengänge/Rechenregeln gelangt man von der linken Seite auf die rechte Seite der Gleichung? Die Literatur sagt nur "Es ist einfach zu zeigen". Ich schätze ich übersehe irgendetwas offensichtliches, kann mir jemand auf die Sprünge helfen? Der Kontext ist die Methode der kleinsten gedämpften Quadrate, aber das ist vermutlich egal.

Comments

Ich weiß nicht, ob ein Ausmultiplizieren erlaubt wäre. Die Inverse macht mich stutzig. Kann man etwa das J^T von rechts in die Klammer ziehen?

Falls ja, könnte man λ²E⋅J^T anhand von A⋅E=E⋅A umstellen. Dann hätten beide Summanden J^T auf der linken Seite und man könnte es von links ausklammern.

Falls das die Lösung ist bitte ich um Bestätigung mit einem Hinweis, warum das erlaubt ist, so banal dieser auch sein mag.

Vielen Dank :)

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Mit ist nicht ganz klar, was Du mit Hineinziehen in die Inverse meinst, aber es hört sich für mich nicht schlüssig an. Alternativ siehe meine Lösung

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Damit meine ich, ob evtl. folgendes geht:

(J^T J + λ² E)^-1 J^T = (J^T J J^T + λ² E J^T)^-1

Ich schau mir deine Lösung gerade an, hab sie übersehen.

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Es wäre besser die Einheitsmatrizen hier zu unterscheiden. Auf der linken Seite \(E_n\), die nxn Einheitsmatrix, auf der rechten dagegen \(E_m\), die mxm-Einheitsmatrix. Das hilft auch bei den Überlegungen, welche Umformungen überhaupt möglich sind.

Answer 1

Ich würde äquivalent umformen. Zur Abkürzung schreibe ich q für lambda^2:

$$(J^TJ+qE)^{-1}J^T=J^T(JJ^T+qE)^{-1} \iff (J^TJ+qE)^{-1}J^T(JJ^T+qE)=J^T\\ \quad \iff J^T(JJ^T+qE)=(J^TJ+qE)J^T \iff J^TJJ^T+qJ^T=J^TJJ^T+qJ^T$$

Comments

Vielen Dank, für die sehr schlüssige Antwort, nun bin ich beruhigt. Äquivalenzumformung muss ich definitiv meinem mathematischen Werkzeugkasten hinzufügen.