ich sollte einen Beweis führen, das wenn die lineare Abbildung f: K^n -> K^m, f(x) = Ax injektiv ist, das genau dann wenn die lineare Abbildung f^t: K^m -> K^n,
f^t(y) = A^t y, surjektiv ist (A^t ist die Transponierte von der Matrix A).
Idee: (=>)
Es gilt ja dim(Kern(f)) = 0, also nach Dimensionsformel dann auch dim(Bild(f)) = n.
Also dann die Kette:
n = dim(Bild(f)) = rang(f) = rang(A) = rang(A^t) = rang(f^t) = dim(Bild(f^t))
Also das dann Bild(f) und Bild(f^t) isomorph sind bzw. gleichdimensional und das dann dim(Bild(f^t)) = n ist und wegen der Teilmengeneigenschaft Bild(f^t) Teilmenge K^n, dann auch die Gleichheit gilt & somit die Surjektivität für f^t.
Die Rückrichtung folgt dann analog, das man da nur von unten startet und das obere folgert.
Ist das richtig?
