Aufgabe:
$$ \text{Es seien } \mathbb{K} \text{ ein Körper, } S\in \text{Mat}(m,n;\mathbb{K}) \text{ und } T\in \text{Mat}(n,l;\mathbb{K}). \\\text{Dann gilt die Eigenschaft } (S\cdot T)^t=T^t\cdot S^t.$$
Problem/Ansatz:
Nun habe ich dazu folgenden (bereits bewiesenen) Satz, der für die zu zeigende Behauptung angwendet werden muss.
$$ \text{Es seien } U,V \text{ und } W \text{ endlichdimensionale } \mathbb{K}\text{-Vektorräume mit Basen }A,B \text{ und } C. \\\text{Sind }f: \ U\rightarrow V \text{ und } g: \ V \rightarrow W \text{ lineare Abbildungen, so gilt die Eigenschaft}\\ M_\mathcal{C}^\mathcal{A}(g \circ f)= M_\mathcal{C}^\mathcal{B}(g)\cdot M_\mathcal{B}^\mathcal{A}(f).$$
Nur sehe ich hier nicht, wie man diesen Satz nutzen könnte. Ich kenne zwar einen anderen Beweis zur obigen Behauptung, aber dort wurde es einfach direkt nachgerechnet, was für mich vom Beweis her verständlicher war.
Mein erster Gedanke zum Satz war aber, dass die Struktur der darstehenden Gleichung der Behauptung schon sehr nahekommt. Somit dachte ich mir folgendes: $$ \text{Setze } (S\cdot T)^t:=M_\mathcal{C}^\mathcal{A}(g \circ f). $$ Und wollte ich zeigen, dass dann jeweils $$ T^t=M_\mathcal{C}^\mathcal{B}(g) \qquad S^t=M_\mathcal{B}^\mathcal{A}(f) $$
gilt. Aber mehr Ideen habe ich nicht.
