Das ist eine DGL 1. Ordnung inhomogener Art.
Zunächst bestimmt man sich die homogene Lösung, indem man das Störungsglied (hier: x2 cosx ) Null setzt:
-> xy´ - y = 0
y' = dy/dx
x*dy/dx - y = 0 -> x*dy/dx = y -> dy/y = dx/x (Beide Seiten integrieren)
-> ln(y) + C1 = ln(x) + C2 , C2 - C1 ist immer noch eine Konstante, deswegen weiter mit C
-> ln (y) = ln(x) + C (alles hoch e nehmen und Potenzgesetze beachten)
-> y = x * eC , eC bleibt eine Konstante, deswegen eC = C
-> yH = C*x (homogene Lösung)
Nun bestimmt man die partikuläre Lösung. in dem man die Störfunktion berücksichtigt.
Ansatz: y = C(x)*x (davon 1. Ableitung bilden mit der Produktregel)
-> y' = C'(x)*x + C(x)*1 = C'(x)*x + C(x)
y = y' in die DGL oben einsetzen:
x*(C'(x)*x + C(x)) - C(x)*x = x2 cos(x)
x2*C'(x) + x*C(x) - x*C(x) = x2 cos(x)
x2*C'(x) = x2 cos(x)
C'(x) = cos(x) (das integrieren)
C(x) = sin(x) + C1
Laut Ansatz für die partikuläre Lösung y = C(x)*x ergibt sich nun
yP = (sin(x) + C1)*x
Allgemeine Lösung ist die Summe aus homogener und partikulärer Lösung
y = C*x + (sin(x) + C1)*x
y = (C + sin(x) + C1)*x , Die Summer der Konstanten C und C1 ist wiederum eine Konstante
-> y = (C + sin(x))*x
