Bestimmen Sie die allg. Lösung der folgenden Differentialgleichung.

Question

bei der folgenden Aufgabe komme ich nicht zu einer Lösung bzw. kann sie nicht berechnen. Ich habe auch schon einige meiner Freunde gefragt, die können mir bei der Aufgabe nicht weiterhelfen. Könnte mir bitte jemand helfen und eine Lösungsmöglichkeit mitteilen?

(DGL 1. Ordnung) Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der folgenden Differentialgleichung.
\( y^{\prime}-\frac{1}{2 x+1} \cdot y=0 \)
Tipp: Verwenden sie dafür die Formel \( y=C e^{-\int f(x) d x} \)

Vielen Dank!
Ganz liebe Grüße
Vera

Answer 1

Verwenden sie dafür die Formel \( y=C e^{-\int f(x) d x} \)

1. Schau in deinen Unterlagen nach, unter welchen Voraussetzungen die Formel angewendet werden kann.
   
2. Prüfe ob die Voraussetzungen erfüllt sind.
3. Bestimme \(f(x)\).
4. Setze in die Formel ein.
   

Answer 2

Hallo,

Ohne den Tipp:

Answer 3

Ohne den Tipp:

\(\frac{y'}{y}\) ist die logarithmische Ableitung von \(y\).

Daher \(\ln(y)=\frac{1}{2}\ln(2x+1)+C_1\), also

\(\ln(y^2)=\ln(2x+1)+C_2\) und damit

\(y=C\cdot \sqrt{2x+1}\).

Mit \(C=0\) ist auch die triviale Lösung \(y=y'=0\)

abgedeckt.