Gesucht ist die allg. Lösung der DGI

Question

xy´  - y = x^2 cosx 

könnte mir jemand weiterhelfen 

LG 

Answer 1

Das ist eine DGL 1. Ordnung inhomogener Art.

Zunächst bestimmt man sich die homogene Lösung, indem man das Störungsglied (hier: x² cosx ) Null setzt:

-> xy´  - y = 0

y' = dy/dx

x*dy/dx - y = 0  -> x*dy/dx = y -> dy/y = dx/x (Beide Seiten integrieren)

-> ln(y) + C1 = ln(x) + C2 , C2 - C1 ist immer noch eine Konstante, deswegen weiter mit C

-> ln (y) = ln(x) + C   (alles hoch e nehmen und Potenzgesetze beachten)

-> y = x * e^C , e^C bleibt eine Konstante, deswegen e^C = C

-> y_H = C*x (homogene Lösung)

Nun bestimmt man die partikuläre Lösung. in dem man die Störfunktion berücksichtigt.

Ansatz: y = C(x)*x (davon 1. Ableitung bilden mit der Produktregel)

-> y' = C'(x)*x + C(x)*1 = C'(x)*x + C(x)

y = y' in die DGL oben einsetzen:

x*(C'(x)*x + C(x)) - C(x)*x  = x² cos(x)

x²*C'(x) + x*C(x) - x*C(x) =  x² cos(x)

 x²*C'(x)  =  x² cos(x)

C'(x) = cos(x)  (das integrieren)

C(x) = sin(x) + C1

Laut Ansatz für die partikuläre Lösung y = C(x)*x ergibt sich nun

y_P = (sin(x) + C1)*x

Allgemeine Lösung ist die Summe aus homogener und partikulärer Lösung

y = C*x + (sin(x) + C1)*x

y = (C + sin(x) + C1)*x ,  Die Summer der Konstanten C und C1 ist wiederum eine Konstante

-> y = (C + sin(x))*x