Begleitmatrix. Sei K ein Körper und μ_{0}, …, μ_{n-1} ∈ K Skalare.

Question

Sei \(K\) ein Körper und \( { μ }_{ 0 },\dots ,  { μ }_{ n-1 } \in K\) Skalare.

Wir bilden dazu die sogenannte Begleitmatrix:

$$ B = \begin{pmatrix}  0 &  &  &  & -{ μ }_{ 0 } \\ 1 & 0 &  &  & -{ μ }_{ 1 } \\  & 1 & \ddots  &  & \vdots  \\  &  & \ddots  & 0 & -{ μ }_{ n-2 } \\  &  &  & 1 & -{ μ }_{ n-1 } \end{pmatrix}\in{ Mat }_{ n }(K) .$$

Beweisen Sie mit der Laplace-Entwicklung und Induktion nach \(n ≥ 1\), dass das charakterische Polynom durch $$ { \chi  }_{ B }(T)={ T }^{ n }+{ μ }_{ n-1 }{ T }^{ n-1 }+\cdots +{ μ }_{ 0 } $$ gegeben ist.

Comments

Woran scheitert es? Es steht ja schon da, was du machen sollst

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mit der Induktion n>=1 ... irgendwie sieht die Induktion bei Lineare Algebra immer anders aus als in Analysis. Zugegebenerweise habe ich es bei dieser Aufgabe noch nicht versucht.

Answer 1

Entwicklung nach der ersten Zeile liefert$$\det(\lambda I-B)=\begin{vmatrix}\lambda&&&&\mu_0\\-1&\lambda&&&\mu_1\\&-1&\ddots&&\vdots\\&&\ddots&\lambda&\mu_{n-2}\\&&&-1&\lambda+\mu_{n-1}\end{vmatrix}$$$$=\lambda\cdot\begin{vmatrix}\lambda&&&\mu_1\\-1&\ddots&&\vdots\\&\ddots&\lambda&\mu_{n-2}\\&&-1&\lambda+\mu_{n-1}\end{vmatrix}+(-1)^{n+1}\cdot\mu_0\cdot\begin{vmatrix}-1&\lambda&&0\\&-1&\ddots&\vdots\\&\huge0&\ddots&\lambda&\\&&&-1\end{vmatrix}.$$Wende nun auf die linke Determinante die Induktionsvoraussetzung an und fasse zusammen.