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Entscheiden Sie, ob die folgenden Aussagen für alle quadratischen Matrizen \( A, B \in \mathbb{R}^{n, n} \) \( (n>1) \) gelten.

Hierbei bezeichnen \( \overrightarrow{a_{1}}, \cdots, \overrightarrow{a_{n}} \) die Spalten von \( A \) und \( \overrightarrow{b_{1}}, \cdots, \overrightarrow{b_{n}} \) die von \( B \).

1. \( \operatorname{det}(A+B)=\operatorname{det}(A)+\operatorname{det}(B) \)

2. \( \operatorname{det}(A B)=\operatorname{det}(A) \operatorname{det}(B) \)

3. Ist \( \operatorname{det}(A)=0 \) dann sind \( \overrightarrow{a_{1}}, \cdots, \overrightarrow{a_{n}} \) linear abhängig.

4. Ist \( \operatorname{det}(A) \neq 0 \) dann sind \( \overrightarrow{a_{1}}, \cdots, \overrightarrow{a_{n}} \) linear unabhängig.

5. \( \operatorname{det}(A B)=\operatorname{det}(B A) \)

6. Sei \( \alpha \) eine von Null verschiedene reelle Zahl. Dann gilt: \( \operatorname{det}(\alpha A)=\alpha \operatorname{det}(A) \)

7. Sei \( U \) eine unitäre Matrix. Dann gilt: \( |\operatorname{det}(U)|=1 \)

8. Sei \( R \) eine orthogonale Matrix. Dann gilt: \( (\operatorname{det}(R))^{2}=2 \)

9. Sei \( R \) eine orthogonale Matrix. Dann gilt: \( (\operatorname{det}(R))^{2}=1 \)

10. \( \operatorname{det}\left[\overrightarrow{a_{1}}, \overrightarrow{a_{2}}, \cdots, \overrightarrow{a_{n}}\right]=\operatorname{det}\left[\overrightarrow{a_{1}}+2 \overrightarrow{a_{n}}, \overrightarrow{a_{2}}, \cdots, \overrightarrow{a_{n}}\right] \)

11. Sei \( \alpha \) eine von Null verschiedene reelle Zahl. Dann gilt: \( \operatorname{det}(\alpha A)=\alpha^{n} \operatorname{det}(A) \)

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3 Antworten

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Hier die richtigen Antworten:

1 Nein
2 Ja
3 Ja
4 Ja
5 Ja
6 Nein
7 Ja
8 Nein
9 Ja
10 Ja
11 Ja

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Die erste ist auf jeden Fall falsch, da:

Sei \( A=B=\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right) \)

Dann ist \( \operatorname{det}(A) \) und \( \operatorname{det}(B)=1 \)

\( \begin{array}{l} A+B=\left(\begin{array}{ll} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{array}\right):=C \\ \operatorname{det}(C)=4 \\ \operatorname{det}(A)+\operatorname{det}(B)=2 \\ 2 \neq 4 \end{array} \)


Der 2. Fall stimmt.

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Die 6. Aussage ist falsch, da müsste es a^n heißen.

Deshalb ist Nr.11 wahr.

Probiere mal die Einheitsmatrix und die mit 2 multiplizierte Einheitsmatrix,

da siehst du es schon.

Bei den anderen musst du nur die Definitionen nachsehen.

Avatar von 289 k 🚀

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