Entscheiden Sie, ob die folgenden Aussagen für alle quadratischen Matrizen \( A, B \in \mathbb{R}^{n, n} \) \( (n>1) \) gelten.
Hierbei bezeichnen \( \overrightarrow{a_{1}}, \cdots, \overrightarrow{a_{n}} \) die Spalten von \( A \) und \( \overrightarrow{b_{1}}, \cdots, \overrightarrow{b_{n}} \) die von \( B \).
1. \( \operatorname{det}(A+B)=\operatorname{det}(A)+\operatorname{det}(B) \)
2. \( \operatorname{det}(A B)=\operatorname{det}(A) \operatorname{det}(B) \)
3. Ist \( \operatorname{det}(A)=0 \) dann sind \( \overrightarrow{a_{1}}, \cdots, \overrightarrow{a_{n}} \) linear abhängig.
4. Ist \( \operatorname{det}(A) \neq 0 \) dann sind \( \overrightarrow{a_{1}}, \cdots, \overrightarrow{a_{n}} \) linear unabhängig.
5. \( \operatorname{det}(A B)=\operatorname{det}(B A) \)
6. Sei \( \alpha \) eine von Null verschiedene reelle Zahl. Dann gilt: \( \operatorname{det}(\alpha A)=\alpha \operatorname{det}(A) \)
7. Sei \( U \) eine unitäre Matrix. Dann gilt: \( |\operatorname{det}(U)|=1 \)
8. Sei \( R \) eine orthogonale Matrix. Dann gilt: \( (\operatorname{det}(R))^{2}=2 \)
9. Sei \( R \) eine orthogonale Matrix. Dann gilt: \( (\operatorname{det}(R))^{2}=1 \)
10. \( \operatorname{det}\left[\overrightarrow{a_{1}}, \overrightarrow{a_{2}}, \cdots, \overrightarrow{a_{n}}\right]=\operatorname{det}\left[\overrightarrow{a_{1}}+2 \overrightarrow{a_{n}}, \overrightarrow{a_{2}}, \cdots, \overrightarrow{a_{n}}\right] \)
11. Sei \( \alpha \) eine von Null verschiedene reelle Zahl. Dann gilt: \( \operatorname{det}(\alpha A)=\alpha^{n} \operatorname{det}(A) \)
