Funktion: Gleichung finden anhand Werten aus Wertetabelle

Question

Wertetabelle

x	1	2	3	4	5
y	47	48	47	44	39

Ich brauche eine Gleichung, die dieses Verhalten beschreibt.

Was ich an den Funktionswerten sehe: Die Funktion ist nicht linear!

Vielleicht gibt es gar keine einfache Gleichung hierfür??!

Answer 1

Ich würde sagen:

y= - (x-2)² + 48

passt.

Einfach, weil nach den linearen Funktionen normalerweise die quadratischen Funktionen behandelt werden, habe ich geschaut, ob eine Symmetrie vorliegen könnte, und wie die Funktionswerte vom Symmetriewert abweichen:

Symmetrie in S(2/48) könnte vorliegen. Die Abweichungen von 48 betragen 1,0,1,4 und 9 'nach unten.' So was kann ich mit der angegebenen Parabelgleichung erreichen.

Grundsätzlich ist aber graphisch gesprochen jede Kurve, die durch die gegebenen Punkte verläuft eine mögliche Funktion, sogar, wenn Sprünge… vorkommen. Einzige Bedingung:  Keinem x-Wert wird mehr als ein y-Wert zugeordnet.

 

Answer 2

Zeichne dir die Punkte doch einfach mal in ein Koordinatensystem!

 

Das sieht doch stark nach einer Parabel aus.

Guckt man sich die Abweichungen vom Scheitelwert 48 an, so sieht man außerdem:
48-47 = 1

48-44 = 4

48-39 = 9

also die ersten drei Quadratzahlen!

 

Die Parameterdarstellung einer quadratischen Funktion ist

f(x) = a*(x-b)²+c

Wobei a die Streckung/Stauchung der Parabel ist (liegt hier nicht vor, da die oben ausgerechneten Differenzen genau die ersten Quadratzahlen sind, die Parabel ist aber nach unten geöffnet also a=-1.)
Der Scheitelpunkt (=die Spitze der Parabel) liegt dann bei (b, c).

Guckt man sich die Zeichnung nochmal an, so sieht man, dass der Scheitelpunkt bei (2, 48) liegt. Die Funktionsgleichung lautet also:

f(x) = -(x-2)²+48 = 48 - (x-2)²

 

Vorausgesetzt natürlich, du wählst die einfachst mögliche Lösung. Es gibt natürlich unendlich viele Kurven, die durch diese 5 Punkte gehen, aber diese ist die leichteste.