Welcher Fehler kann bei dieser Polynomapproximation höchstens auftreten?

Question

Aufgabe:

Die Funktion \( f ( x ) = \frac { 1 } { \sqrt { 1 + x } } \) ist für \( | x | \leq \frac { 1 } { 4 } \) durch ein Polynom 4. Grades anzunähern. Welcher Fehler kann bei dieser Polynomapproximation höchstens auftreten \( (x_0 = 0) \)?

Bei dieser Aufgabe bin ich nur fähig die das Polynom am Entwicklungspunkt zu bestimmen, aber ich weiß nicht, welcher Fehler gemeint ist und wie man da rangeht.

Answer 1

die Taylorreihe von  f  lautet
f(x) = 1 - 1/2·x + 3/8·x² - 5/16·x³ + 35/128·x⁴ + R₅.
Dabei ist das Restglied  R₅  der erwähnte Fehler, den es abzuschätzen gilt. Dafür gibt es sicher verschiedene Methoden, z.B. mithilfe der geometrischen Reihe.
Sei zunächst  0 ≤ x < 1. Es ist
|R₅| < 63/256·(x⁵ + x⁶ + x⁷ + ...) = 63/256·x⁵·(1 + x + x² + ...) = 63/256·x⁵/(1 - x).
Für  -1 < x ≤ 0  findet man  |R₅| < 63/256·(-x)⁵/(1 + x).
Da  x⁵/(1 - x)  im Intervall  [0,1)  monoton steigend ist, liegt der maximale Fehler für  |x| ≤ 1/4  demnach bei rund  3.2043·10^-4. Der tatsächliche Fehler liegt für  x = -1/4  bei rund  3.1213·10^-4.