Hi,
ein Extremum (die Extrema) ist eine besondere Stelle in einem Schaubild. Es handelt sich dabei um Hoch- und Tiefpunkte.
Ein Beispiel für ein Extremum. Ein Minimum oder Tiefpunkt.
wenn der Wert f´ an einer Stelle von Null verschieden ist, so kann f dort kein Extremum haben.
Ja, das ist richtig. Die sogenannte "notwendige Bedingung" verlangt f'(x)=0. Ist das nicht der Fall, gibt es auch kein Extremum.
wenn der Wert von f´an einer Stelle Null ist, so hat f dort ein Extremum
Diesmal ist das nicht ganz richtig. Es könnte sich beispielsweise auch um einen Sattelpunkt handeln.
Bsp.: f(x)=x3
f'(x)=3x2 -> f'(x)=0 -> x=0
Deiner Aussage zur Folge müsste also bei x=0 ein Extremum vorliegen. Schauen wir uns das im Schaubild an:
Wir hatten gerade eben gesagt, dass ein Extremum ein Hoch- oder Tiefpunkt ist. Das also in der Nähe der interessanten Stelle kein Wert höher oder niedriger ist. Das ist hier nicht der Fall. Es handelt sich um einen Wendepunkt. Einen Spezialfall davon -> dem Sattelpunkt.
Wenn f´an einer Stelle einen Vorzeichenwechsel hat so hat f dort ein Extremum
Das ist wieder richtig.