Berechne die Punkte und Schnittwinkel von Geraden und Kreisen. Bsp. b) (x-4)^2+(y+6)^2=30; g:y=3/5x+2

Question

Überprüfe rechnerisch und graphisch die Lage der Geraden g bezüglich des Kreises k. Berechne gegebenenfalls gemeinsame Punkte und Schnittwinkel!

a)k: x²+y²=13; g:X=(3 | 2)+u*(-5 | 1) 

Hinweis: (3 | 2) und (-5 | 1) die Zahlen sind untereinander in Klammer. Also Vektoren!

b) (x-4)²+(y+6)²=30; g:y=3/5x+2

 

bei a) hab ich so ausgerechnet

hab zuerst von gerade g habe ich x=3-5u und y=2+u und die zwei hab ich dann da eingesetzt  

 x²+y²=13 und als kommt bei mir u= 1; u=0

und im lösungsheft kommt Sekante mit T1(3/2); T2(-2/3);winkel ist 45°

und bei b) steht Passante im Lösungsheft aber weiß es nicht was das ist

biitte mit Rechenschritte

Answer 1

a) u= 1; u=0 ist richtig

Damit sind die gemeinsamen Punkte

x1 = (3 | 2) + 1 * (-5 | 1) = (-2 | 3)
x2 = (3 | 2) + 0 * (-5 | 1) = (3 | 2)

 

b) (x-4)² + (y+6)² = 30

g: y = 3/5x + 2

(x-4)² + ((3/5x + 2)+6)² = 30
1.36·x^2 + 1.6·x + 80 = 30

Hier gibt es keine Lösung und daher keine Schnittpunkte. Eine Passante ist eine Gerade die den Kreis nicht schneidet.

Comments

und bei a) wie kann ich mir den Winkel ausrechnen??

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@ Anonym: Tangenten stehen immer senkrecht auf dem zugehörigen Radiusvektor.

Dann kannst du zB. das Skalarprodukt verwenden um den Zwischenwinkel von Sekante und Tagente zu berechnen.

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können sie es mir bitte vorzeigen

weil sowas haben wir nicht in der schule gemacht

 

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@Lu: Zur Sicherheit noch mal nachgefragt:

Ortsvektor = alle Vektoren starten im gleichen Punkt

Radiusvektor = Ortsvektor, der in P(0|0) sitzt

richtig? Danke ;)

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@Anonym: nicht ganz:

Ortsvektor von einem Punkt Q(x/y) =  Vektoren von P(0/0) nach Q(x/y)

Radiusvektor soll hier heissen: Vektor von Mittelpunkt zu Tangentenberührpunkt.

Berechenbar als 0T - 0M

(Gegenrichtung stört auch nicht, denn am Schluss willst du keinen stumpfen Schnittwinkel von 2 Geraden. Du rechnest also 180°-Winkel, falls du ein stumpfer Winkel rauskommt.)

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ich verstehs noch immer nicht was soll ich jetzt ganz genau ausrechnen weil sowas hatten wir nicht in der schule und als lösung sollte eigentlich am schluss 45° rauskommen und ich weiß nicht wie sie auf das gekommen ist

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Unser Kreis hat den Mittelpunkt im Koordinatenursprung. Damit ist der Tangentenpunkt (3 | 2) der Radiusvektor. Der Vektor u = (2 | -3) wäre senkrecht dazu. Einfach die Zahlen vertauschen und von einer das Vorzeichen ändern.

Unsere Gerade hat den Richtungsvektor v = (-5 | 1). Nun bestimme ich den Winkel zwischen den beiden Vektoren.

alpha = arccos((u * v)/(|u| * |v|)) = arccos(-13/√338) = 135 Grad

Der Nebenwinkel zu 135 Grad ist 180 - 135 = 45 Grad. Damit schneidet die Sekante den Kreis im Winkel von 45 Grad.

Anmerkungen zur Rechnung: 

u * v = (2 | -3) * (-5 | 1) = 2*(-5) + (-3)*1 = -13
|u| = √(2^2 + (-3)^2) = √13
|v| = √((-5)^2 + 1^2) = √26
|u| * |v| = √13 * √26 = √338

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Können sie mir ganz genau zeigen was ich da genau einsetzen muss

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Man hätte auch über den arcsin gleich mit dem Radiusvektor rechnen können. Das finde ich persönlich aber nicht so schön und nachvollziehbar, deswegen habe ich hier darauf verzichtet.

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u und v sind die beiden Vektoren. Die habe ich oben auch beschriftet. Das heißt in der Klammer steht das Skalarprodukt der Vektoren geteilt durch das Produkt der Vektorlängen.