Nullstellen einer Funktionsschar um die Extrema zu berechnen?

Question

ich muss die Extrema einer Funktionsschar berechnen, schaffe es aber nicht die Funktion gleich 0 zu setzen.

Ich habe schon Substitution und Ausklammern versucht bin dabei aber zu keinem sinnvollen Ergebnis gekommen.

Hier die Funktion: f_k(t) = 0,5t³ - 1,5kt² + 6kt - 6t + 50 (k∈ℝ)

Meine Frage ist mit welcher Herangehensweise ich die Gleichung lösen kann.

Comments

Du musst doch die Ableitung gleich Null setzen...

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Ich dachte die Extrempunkte beinhalten auch die Nullpunkte, hab aber gerade bemerkt dass das falsch ist. Also hat sich die Frage eigentlich erledigt. Trotzdem würde es mich noch interessieren wie man die Gleichung lösen kann.

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zur Kontrolle :
t = 2
t = 2k - 2

Answer 1

um die Extrema zu bestimmen, musst du zunächst die Ableitungsfunktion bilden:

f_k(t) = 0,5t³ - 1,5kt² + 6kt - 6t + 50

f_k'(t) = 1,5t² -3kt +6k -6

Nun setzt du diese gleich 0 und formst nach t um...und gehst halt weiter so vor, wie du es gelernt hast.

Answer 2

\(fk'(t) = 1,5t^{2} -3kt +6k -6\)

\( 1,5t^{2} -3kt +6k -6=0      |:1,5\)

\( t^{2} -2kt +4k -4=0      |+(4-4k)\)

\( t^{2} -2kt =4-4k\)

\( (t -k)^2 =4-4k+k^2=(k-2)^2    |\sqrt{~~}\)

1.)

\( t -k =k-2    \)

\( t_1  =2k-2 =2*(k-1)   \)

2.)

\( t -k =-(k-2)=-k+2    \)

\( t _2 =2    \)