Allgemeiner Nachweis, zur Berechnung von Flächen zwischen 2 Graphen

Question

Ich habe folgende Aufgabe:

1)

Allgemeiner Nachweis, dass statt der Differenz der Integrale der Funktionen (also ∫f(x)-∫g(x)), das Integral der Differenz der Funktionen (also ∫f(x)-g(x)) verwendet werden kann.

Nun waren meine Überlegungen dazu, dass ich für f(x) und g(x) Werte nehme und dann mit den Grenzen a und b Integriere. Das Problem ist, ich weiss nicht welche Fuktionen ich für f(x) und g(x) nehmen soll, da es ja allgemein sein soll.

Ist diese Überlegung überhaupt richtig?

Wäre nett wenn ihr mir helfen könntet :).

Answer 1

Du sollst den allgemeinen Beweis führen das

∫ f ( x ) - g ( x ) dx  = ∫ f ( x ) dx - ∫ g ( x ) dx

ist.

Der exakte Beweis steht mir jetzt nicht zur Verfügung, dann versuchen
wir es einmal so

Es gibt einen Funktionswert f ( x ).
Die Stammfunktion lautet
∫ f ( x ) dx.
Bildlich ist dies die Fläche unterhalb der Funktion f ( x )

Es gibt einen Funktionswert einer 2. Funktion g ( x ).
Die Stammfunktion lautet
∫ g ( x ) dx.
Bildlich ist dies die Fläche unterhalb der Funktion g ( x )

Wenn ich beide Flächen voneinander abziehe erhalte ich
die Differenzfläche
∫ f ( x ) dx  - ∫ g( x ) dx

Wenn ich die Funktionswerte an einer Stelle x voneinander
abziehe erhalte ich die Differenz
f ( x ) - g ( x )
Die Stammfunktion dieser Funktion lautet
∫  f ( x ) - g ( x ) dx
Bildlich ist dies die Fläche zwischen den Funktionen
f ( x ) und g ( x )

Es sind also gleich
∫ f ( x ) dx. - ∫ g( x ) dx. =  ∫  f ( x ) - g ( x ) dx

Wie gesagt dies ist vielleicht kein exakter mathematischer Beweis
( oder doch ) aber eine gute bildliche Herleitung.

Answer 2

Vermutlich rechnet ihr Integrale ja immer über
Stammfunktionen aus.
Wenn man sagt F ist eine Stammfunktion für f und G ist eine
Stammfunktion für g dann ist wegen der Abl.regeln F-G eine Stammfunktion
für f-g.
also ist auch
$$\int _{ a }^{ b }{ (f(x)\quad -\quad g(x))dx\quad = } $$
[  F(x) - G(x) ] _a ^b  = (F(b) - G(b) ) - ( F(a) - G(a))
= ( F(b) - F(a) )  -   (  G(b) - G (a) )
und das ist Integral f   -  Integral g

Comments

Vielen Dank für deine Antwort, hat mir sehr geholfen.:)

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Vielen Dank für deine Antwort, hat mir sehr geholfen.:)

Da hab ich eine Frage: bei der Zeile

[  F(x) - G(x) ] _a ^b  = (F(b) - G(b) ) - ( F(a) - G(a)) 

Muss da bei -G(a) nicht als Vorzeichen ein Plus kommen bei

= ( F(b) - F(a) )  -   (  G(b) - G (a) ) 

Weil das ja eine Minusklammer ist

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(F(b) - G(b) ) - ( F(a) - G(a)) 
F(b) - G(b)  - F(a) + G(a)
F(b) - F(a)   - G(b) + G(a)
(F(b) - F(a))   - (G(b) - G(a))