Vollständige Induktion richtig? 2^{n} < n!

Question

Hallo an alle!

Ich bin im Moment dabei vollständige Induktionen zu üben. In dieser Aufgabe soll ich für 2ⁿ < n! die kleinste natürliche Zahl finden die richtig ist. Also n = 4 und für alle Zahlen die mindestens genauso groß sind einen Beweis aufstellen.

Ich überspringe mal die langweiligen Teile und komme gleich zum Induktionsschluss:

So gehe ich vor:

2ⁿ * 2 < n! * 2 < (n+1)!

n! * 2 < n! * (n+1)

2 < (n+1)

Stimm das nun? Ich bin mir nicht sicher, weil hier ja auch n = 3 stimmen würde oder n = 2.

Danke für eure Antworten im Voraus. Ich hoffe mir kann jemand helfen :).

Answer 1

du musst ja nur zeigen, dass für alle n>=4 aus
2ⁿ < n!  auch 2¹⁺ⁿ < (n+1)! folgt.
Du zeigst, dass dies unter der Vor. 2< n+1 also  1<n auch wirklich folgt.
und für alle n>=4  gilt ja 1<n .
Was dich wohl stört ist, dass der Induktionsschluss auch für n=2 richtig ist.
Das ist auch so, wenn also die Formel für n=2 richtig WÄRE, dann wäre sie
es auch für n=3. Da sie aber für n=2 falsch ist, ist unerheblich, ob der
Induktionsschluss richtig ist.

Comments

Vielen Dank für die tolle Erklärung :). Sehr verständlich.

Answer 2

Es würde zwar auch für n = 2 und n = 3 gelten aber da du es ja nur für n = 4 zeigen musst ist das klar das es dort auch gilt.

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Ebenfalls danke für die Antwort :).