Vollständige Induktion richtig beweisen

Question

Hallo Leute,

kann mir jemand zeigen, wie ich die folgende Aufgabe formal richtig löse. Es handelt sich hierbei, um eine vollständige Induktion. Ich weiß, dass es einen Induktionsstart gibt, bei dem man für n 1 eingibt. Den Induktionsschluss soll man damit beweisen, indem man n+1 eingibt und schaut, dass die Aussage immer noch stimmt.

für alle \( n \in \mathbb{R} \) gilt:

\(\sum \limits_{i=0}^{n-1}(2i+1)=n^{2}\) 

Answer 1

Aloha :)

Behauptung:\(\quad A(n)=n^2\quad;\quad A(n)\coloneqq\sum\limits_{i=0}^{n-1}(2i+1)\quad;\quad n\in\mathbb N\)

Verankerung bei \(n=1\):$$A(n)=\sum\limits_{i=0}^{n-1}(2i+1)=\sum\limits_{i=0}^{1-1}(2i+1)=\sum\limits_{i=0}^{0}(2i+1)=1=1^2=n^2\quad\checkmark$$

Induktionsschritt \(n\to n+1\):

Wir haben bisher gezeigt, dass die Behauptung für alle natürlichen Zahlen bis einschließlich \(n\) richtig ist. Wir nutzen dies beim Rechenschritt \((\ast)\) aus, um die Behauptung für das folgende \(n\) zu zeigen:$$A(n+1)=\!\!\!\!\!\sum\limits_{i=0}^{(n+1)-1}\!\!\!(2i+1)=\sum\limits_{i=0}^n(2i+1)=\sum\limits_{i=0}^{n-1}(2i+1)+\left(2n+1\right)$$$$\phantom{A(n+1)}\stackrel{(\ast)}{=}n^2+2n+1=(n+1)^2\quad\checkmark$$

Damit gilt die Behauptung \(A(n)=n^2\) für alle \(n\in\mathbb N\).

Comments

Erstmal vielen Dank, wie du das ausführlich beschrieben hast. Ich hätte eine Frage bzgl. dem Induktionsschritt. Wie hast du das von n nach n-1 umgeformt.

---

Ich habe den letzten Summanden, als den für \(i=n\) von der Summe entfernt und separat hingeschrieben.

$$\sum\limits_{i=0}^n(2i+1)=\underbrace{\sum\limits_{i=0}^{n-1}(2i+1)}_{\text{Summe ohne letzten Summanden}}+\underbrace{(2n+1)}_{\text{Summand für \(i=n\)}}$$