Question

Für die Funktion f : R → R gelte f(0) = 1 und f(x+y) ≤ f(x) · f(y) für alle x, y ∈ R.

1. Gibt es solche Funktionen überhaupt? Geben Sie ein Beispiel an!

2. Zeigen Sie: Ist f in x = 0 stetig, so ist f auf ganz R stetig.

Hinweis: Für den Beweis eignet sich die Folgencharakterisierung der Stetigkeit besser.

So also bei 2. hab ich eine Ahnung. Das bekomme ich bestimmt noch alleine hin. Aber bei 1. hab ich absolut keine Ahnung!

Kann mir das vielleicht einer erklären?

!

Answer 1

1. Zum Beispiel $$f(x)=e^x : \\ f(0)=e^0=1 , \\ f(x+y)=e^{x+y}=e^x \cdot e^y=f(x) \cdot f(y) \Rightarrow f(x+y) \leq f(x) \cdot f(y)$$

Comments

Meinst du ein Beispiel reicht, oder soll ich noch allgemein Beweisen, dass davon mehrere Funktionen existieren, dass ist ja mein eigentliches Problem.

Weil "Gibt es solche Funktionen überhaupt?"

Und vielen dank fürs Beispiel!

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Ein Beispiel reicht. Du willst zeigen dass es solche Funktionen gibt, wenn du ein Beispiel gefunden hast, gibt es ja solche Funktionen.

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kann vill. noch jemand bei der 2. weiterhelfen?