Betrachte nach dem 1.MWS folgendes: Wir nehmen das Intervall [a,a+h] wobei h>0 sein soll und a+h<b. Damit ist das so gewonnene Intervall eine Teilmenge des Intervalls [a.b], die Funktions ist weiterhin stetig und diffbar auch auf dem angegebenen Intervall (a,a+h). Nach dem ersten Mittelwertsatz (d.h. der Mittelwertsatz garantiert uns schon die Existenz der Ableitung...) existiert nun ein x aus (a,a+h) sodass folgendes gilt:f(a+h)-f(a)/(a+h-a)= f(a+h)-f(a)/h=f'(x). Wir bilden nun den Grenzwert (die Grenzwertbildung für h gegen Null garantiert uns nun, dass auch f'(a)=r gilt wenn lim(x -> a ) f´(x) = r ):
lim(h -> 0) f(a+h)-f(a)/h=lim(x -> a) f'(x) [Nach Voraussetzung gerade r). Wir erinnern uns dabei dass x aus (a,a+h) geht und da h gegen Null geht geht das Intervall gegen a! und auch unser x muss gegen a gehen. deswegen lim(x -> a). lg
