Differenzierbarkeit. Zeigen: lim x→∞ (x ƒ(a) − a ƒ(x)) / (x-a) = ƒ(a) - a ƒ' (a) für f diffbar in x=a.

Question

Zeigen Sie, dass

lim x→∞  (x ƒ(a) − a ƒ(x)) / (x-a) = ƒ(a) - a ƒ' (a)

ist, wenn f(x) an der Stelle x = a differenzierbar ist.

Answer 1

Ist das nicht eher der Grenzwert für x gegen a  (nicht x gegen unen dlich ) ?

Dann wäre es nämlich so:

  (x ƒ(a) − a ƒ(x)) / (x-a)

=   (x ƒ(a)  - a*f(a)   +  a*f(a)  − a ƒ(x)) / (x-a)

=   (x ƒ(a)  - a*f(a))  /  (x-a)      + ( a*f(a)  − a ƒ(x)) / (x-a)

= f(a) * ( x - a ) / (x - a )       +   a * ( f(a) - f(x) ) / ( x - a )

=   f(a)                 -      a  *   ( f(x)  -  f(a) )  / ( x - a ) 

und für x gegen a geht   ( f(x)  -  f(a) )  / ( x - a ) 

wegen der Differenzierbarkeit bei a gegen f ' (a) .