Gib eine homogene Fkt an, die nicht diffbar ist.

Question

Eine Funktion \(f:\mathbb{R}^n (ohne Null) \rightarrow \mathbb{R}\) heisst homogen vom Grad \(\lambda \in \mathbb{R}\), falls die Gleichung

$$f(tx)=t^{\lambda}f(x)$$

für alle \(x \in \mathbb{R}(ohne Null)\) und für alle t>0 gilt.

 

(a.)) Gib ein Bsp für eine homogene Fkt. \(f:\mathbb{R}^n (ohne Null) \rightarrow \mathbb{R}\) vom Grad \(\lambda = 1\) welche aber nicht diffbar ist.

(b.) Zeige, dass gilt:

ist \(f:\mathbb{R}^n (ohne Null) \rightarrow \mathbb{R}\) differenzierbar und \(x\bigtriangledown f(x)=\lambda f(x)\) für jedes \(x\in\mathbb{R}^n\)(ohne Null),

Dann ist f homogen vom Grad \(\lambda\).

Answer 1

a)  für n=1 verwende   f(x) = |x| ist bei 0 nicht diff.bar und es gilt

f(tx) = | tx|  = |t| * |x| =  t*f(x)   für alle t>0.

Comments

Der Definitionsbereich ist ohne Null, dann wäre doch die Betragsfunktion trotzdem diffbar oder?

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AH, das "ohne Null" hatte ich übersehen.