Aufstellen ganz rationaler Funktionen 2.,3. und 4. Grades

Question

A) Wie lautet die Gleichung der ganzrationalen Funktion 3. Grades, deren Graph symmetrisch zum Ursprung ist und durch die Punkte P₁ (1;-1) und P₂ (-2;-16) verläuft?

B) Bestimmen sie die Gleichung einer ganzrationalen Funktion 3. Grades, deren Graph die x-Achse bei x=-2 schneidet, einenWendepunkt auf der y-Achse hat und dessen Wendetangente durch die Gleichung y=1/3x+2 beschrieben wird.

Answer 1

A) Wie lautet die Gleichung der ganzrationalen Funktion 3. Grades, deren Graph symmetrisch zum Ursprung 

Ansatz: y = ax^3 + bx     . Also nur 2 Unbekannte!

ist und durch die Punkte P₁ (1;-1)

-1 = a + b        (I)   1. Gleichung

und P₂ (-2;-16) verläuft?

-16 = -8a - 2b  (II) 2. Gleichung

Nun nachkontrollieren und dann dieses LGS lösen.

-1 =a+b   (I)

8 = 4a + b   (II)'

---------------------  (II)' - (I)

9 = 3a ==> a=3

in (I)

-1 = 3 + b

-4 = b

y = 3x^3 - 4x

Kontrolle mit Plotter https://www.matheretter.de/rechner/plotlux

~plot~3x^3 - 4x; {1|-1}; {-2|-16};[[20]]~plot~

B) Bestimmen sie die Gleichung einer ganzrationalen Funktion 3. Grades, deren Graph die x-Achse bei x=-2 schneidet,

Ansatz f(x) = (x + 2) ( ax^2 + bx + c)

einen Wendepunkt auf der y-Achse hat und dessen Wendetangente durch die Gleichung y=1/3x+2 beschrieben wird.

Das heisst f(0) = 2.

f(0) = ( 2) ( a*0 + b*0 + c)      = 2

==> c = 1

Daher nur noch 2 Unbekannte

f(x) = (x + 2) ( ax^2 + bx + 1)

Weitere Bedingungen bekommst du mit

f ' (0) = 1/3

und

f '' (0) = 0

Answer 2

A:)

f(0)=0

f(1)= -1

f(-2)= -16

Für Funktionen die punktsymmetrisch zum Ursprung sind gilt:

f(x)=ax³+bx

LGS:

a+b= -1

-8a-2b=-16

Auflösen ergibt: a=3  b = -4  ->  f(x)=3x³ -4*x

 ~plot~3*x^3-4*x~plot~

Comments

B)

f(x)=ax³+bx²+cx+d

f '(x)=3ax²+2bx+c

f ''(x)=6ax+2b

f( -2 l 0)

f ''(0)=0

f '(0)=1/3

f(0)=2

Lgs aufstellen und lösen bringt:

a=1/6 b=0 c=1/3 d=2

f(x)=1/6*x³ +1/3x +2

~plot~1/6*x^3 +1/3x +2~plot~