Funktionenschar mit f_t(x) = (e^x - t)² (Schnittpunkte und Ortskurve)

Question

Gegeben ist die Funktionenschar f_t mit f_t(x) = (e^x-t)², dabei ist t>0. (f_{1 ,} f_1,5, f₂)

a) Schnittpunkte der Graphen von f_t bestimmen.

b) Untersuche das Verhalten der Funktionswerte für x gegen Unendlich bzw. x gegen + Unendlich und gebe vorhandene Asymptote an.

c) Bestimme die Ortskurve aller Schnittpunkte.

Comments

zu a) Sind hier die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen gemeint?

zu c) ist mir nicht so klar. Ist der Ortskurve der Schnittpunkte der Funktionsschar gesucht?

Answer 1

Gegeben ist die Funktionenschar f_t mit
f_t(x) = (e^x-t)², dabei ist t>0. (f_{1 ,} f_1,5, f₂)

a)
Schnittpunkte der Graphen von f_t bestimmen
( e^x  - t1 )^2 = ( e^x - t2 )^2
Durch das Quadrieren gilt auch
| e^x  - t1 | = | e^x - t2 |

- ( e^x - t1 ) = e^x - t2
-e^x + t1 = e^x - t2
2 * e^x = t1 + t2
e^x = ( t1 + t2 ) / 2
xs = ln ( ( t1 + t2 ) / 2 )

f_t1 ( ln ( ( t1 + t2 ) / 2 ) ) = [ e^{ln ( ( t1 + t2 ) / 2 ) - t1} ]^2
f_t1 ( ln ( ( t1 + t2 ) / 2 ) ) = [ ( t1 + t2 ) / 2 - t1 ]^2
f_t1 ( xs ) = [ ( t2  -  t1 ) / 2 ]^2

( ln ( ( t1 + t2 ) / 2 )  |   [ ( t1  -  t2 ) / 2 ]^2 )

f_t2 ( ln ( ( t1 + t2 ) / 2 ) ) = [ e^{ln ( ( t1 + t2 ) / 2 ) - t2} ]^2
f_t2 ( ln ( ( t1 + t2 ) / 2 ) ) = [ ( t1 + t2 ) / 2 - t2 ]^2
f_t2 ( xs ) = [ ( t1  -  t2 ) / 2 ]^2  | dasselbe wie f_t1 ( xs )

b) Untersuche das Verhalten der Funktionswerte für x gegen - Unendlich
bzw. x gegen + Unendlich und gebe vorhandene Asymptote an 

lim x −> - ∞ ( e^x  - t )^2 = ( 0 - t )^2 =t^2

lim x −> + ∞ ( e^x  - t )^2 = + ∞

Asi = t^2

c)
Bestimme die Ortskurve aller Schnittpunkte
Die Punkte der Ortskurve sind

xs = ln ( ( t1 + t2 ) / 2 ) 
ys =  ( t1  -  t2 ) / 2 ]^2

Wie man jetzt daraus die Ortskurve
ys = f ( xs )
machen kann weiß ich leider nicht.

Comments

Wie man jetzt daraus die Ortskurve ys = f ( xs ) machen kann weiß ich leider nicht.

Ich auch nicht. Ich behaupte sogar es gibt hier keine, wenn die Aufgabenstellung so richtig ist. Denn wenn wir t1 um c erhöhen und t2 gleichzeitig um c senken bleibt die x-Koordinate des Schnittpunktes gleich, die y-Koordinate verändert sich. Damit bilden alle Schnittpunkte eventuell eine Fläche.

Ich weiss auch nicht recht was (f_{1 ,} f_1,5, f₂) bedeuten soll. Vielleicht sollen nur diese Graphen genommen werden oder sind das drei Beispiele?

Die Aufgabenstellung sollte in jedem Fall präzisiert werden damit sie sinn macht.