Funktionenschar f(x) = x^2 * e^{x/k}. Suche Ortskurve der Extrema dieser Schar.

Question

Bestimme die Ortskurve aller Extrema

 

f(x) = x² * e^x/k

 

Danke für eure Hilfe

Answer 1

Hi,

leite zweimal ab:

f(x) = x^2*e^{x/k}

f'(x) = 2x*e^{x/k} + x^2*e^{x/k} * 1/k = x*e^{x/k} (2+x/k)

f''(x) = e^{x/k} ( 2+4x/k+x^2/k^2)

 

Für Extrema die erste Ableitung 0 setzen:

f'(x) = x*e^{x/k} (2+x/k) = 0

Das ist 0 für x₁=0 und (2+x/k) = 0  -> x₂ = -2k

 

Das überprüfen, in dem man es in die zweite Ableitung einsetzt:

f''(0) ≠ 0, passt also

f''(-2k) ≠ 0, passt also auch.

 

Nun noch in f(x) = x^2*e^{x/k} einsetzen:

f(0) = 0

f(-2k) = (-2k)^2 * e^{-2k/k} = 4k^2*e^{-2}

 

Die Scharpunkte sind also

S₁(0|0)

und

S₂(-2k|4k^{2}e^{-2})

 

Die Ortskurve selbst berechnet sich natürlich in dem man:

x₂=-2k nach k auflöst -> k=-x/2 und das in f(-2k) einsetzt.

s(x) = -x^2*e^x/(-x/2) = -x^2*e^{-2}

 

Bitte nachrechnen. Habe ausnahmsweise mal nicht probegerechnet ;).

 

Grüße

Comments

ich könnt mich wieder schwarz ärgern hatte beim ableiten die innere funktion des 2. terms immer mit in die potenz genommen deshalb wurde der term unlösbar .......

dafür gibt es ja solche 100 % kerle wie dich :)  , naja spät abends lässt meine konzentration halt übelst nach , danke danke :)

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Kleine Fehler passieren. Solange das Prinzip klar ist, ist das Wichtigste erfüllt :).


Gerne :)

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eins noch chef ...... du hast ja dann bei f'(x) = x*e^x/k (2+x/k)       gesehen , dass wenn ein teil des produktes  0 ist  alles 0 ist ..........   und x*e^x/k   ist ja nur bei x = 0    0 ......... wie wäre es wenn das da nicht so schön stehen würde , ist es schwer das dann nach x aufzulösen oder sogar unmöglich ?

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Es kommt darauf in welcher Konstellation das Ergebnis dasteht.

Beliebt ist es, die e-Funktion auszuklammern und zu sagen, dass diese nie 0 wird. Das wird hier indirekt gemacht. Denn normal muss jeder Faktor angeschaut werden. Wir haben nur x und die Klammer angeschaut. Die e-Funktion selbst wurde getrost (und richtigerweise) ignoriert.


Hat man allerdings etwas in der Gestalt: e^{-2x}+x=0, dann ist das nicht mehr algebraisch zu lösen. Da braucht es dann Newton oder ähnliches.

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genial , was manche lehrer in 2 wochen nicht sagen können , erklärst du in 3 Sätzen :)  danke , würd mir sicher alles helfen ;)

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:D Ich muss auch nicht von unten anfangen, sondern kann mir den Luxus erlauben, das zu erzählen was ich meine, dass Dich interessiert. Da muss der Lehrer schon mehr bieten^^.


Aber freut mich, wenn ich die richtigen Worte finde :).

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Hejo :)

Hier hat man ja den Fall, dass ein Extrempunkt beides Mal die 0 als Koordinaten hat (0|0). Damit erübrigt sich ja prinzipiell, wo man welchen Punkt einsetzt, da der Ursprung recht wenig Sinn für die Ermittlung einer Kurve machen würde. Aaaaber: was wäre, wenn beide Punkte "greifbare" Koordinaten hätten? Wenn man da nur einen einsetzt/"verbaut", ists ja eigentlich nicht richtig, oder?


Liebe Grüße! :)

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Was genau meinst Du denn?

Ob P(0|0) oder was anderes macht in der Rechnung kaum einen Unterschied ;).

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Hm, war wohl etwas blöd formuliert, ist mir auch grad aufgefallen. :D

Aaaalso, man soll ja die Ortskurve ALLER Extrempunkte ermitteln und oben wurde das ja letztlich getan, indem nach dem k vom Punkt S2(-2k|4k2e-2) umgestellt wurde und so weiter - der Mechanismus ist mir klar! :)

Hab jetzt nicht geschaut, ob dieser S2-Punkt ein Hoch- oder Tiefpunkt ist, aber um's besser erklären zu können, was ich meine, behaupte ich jetzt einfach mal, es sei ein Hochpunkt. Durch den Punkt S2 kam man da oben ja letztlich auf die Ortskurve - aber ist das jetzt nicht nur eine Kurve für alle Hochpunkte? (Wenn S2 ein Hochpunkt ist, wie ich mal dreist angenommen habe ;)) Man hat ja nur mit ihm gerechnet...

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Ob ein Hochpunkt vorliegt oder nicht kannst Du schnell mit der zweiten Ableitung überprüfen. Setze Deinen x-Wert ein und schaue was für die zweite Ableitung passiert (ob größer oder kleiner 0)

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Das war auch nicht meine Frage ;)


Ich meine eher, da man ja oben nur mit einem Punkt, dem S2-Punkt, gerechnet hat, ist das doch eigentlich nur eine Ortskurve für alle Punkte der Art wie S2 es ist (also entweder Hoch- oder Tiefpunkte)...Oder nicht?

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Yup eine "Ortskurve aller Extrema" ;).

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Hm, okay, ich glaube, ich habs verstanden, haha - obwohl's ein wenig länger gedauert hat.


  :)