Newton-Verfahren mit einer kubischen Funktion?

Question

Eine kubische Funktion ist gegeben durch die folgenden Punkte. Ermitteln Sie die Funktion und berechnen Sie ihre Nullstellen mit Hilfe des Newton-Verfahrens mit dem Startwert \( x_{0}=0,5 \).

Iterieren Sie solange, bis die ersten 4 Nachkommastellen sich nicht mehr verändern.

(a) Punkt \( f(2)=16 \);

(b) Extrempunkt \( f(0)=-4 \) und

(c) Wendepunkt \( f(-1)=-2 \).

Answer 1

f ( 2 ) = 16
f ( 0 ) = -4
f ´( 0 ) = 0
f ( -1 ) = -2
f ´´ ( -1 ) = 0

f ( x ) = a * x^3 + b * x^2 + c * x + d
f ´( x ) = 3 * a * x^2 + 2 * b * x + c
f ´´ ( x ) = 6 * a * x + 2 * b

f ( 2 ) = a * 2^3 +b * 2^2 + c * 2 + d = 16
f ( 0 ) = d = -4

f ( 2 ) = a * 2^3 +b * 2^2 + c * 2 - 4 = 16
f ´( 0 ) = 3 * a * 0^2 + 2 * b * 0 + c = 0  = > c = 0

f ( 2 ) = a * 2^3 +b * 2^2 - 4 = 16
f ´´ ( -1 ) = 6 * a * (-1) + 2 * b = 0
8 * a  + 4 * b  = 20
- 6 * a *+ 2 * b = 0 
b = 6a /2 = 3a
8 * a + 3a*4 = 20
a = 1
b = 3

f ( x )= x^3 + 3*x^2 - 4
Die Funktion hätten wir jetzt und nun auf zum Newton-Verfahren.
Viel Spaß.

Zur Kontrolle x = -2, x = 1

mfg Georg

Answer 2

f(x) = a * x³ + b * x² + c * x + d  

mit b)  f(0) = -4 -> erkennt man sofort d=-4, da alle anderen 0 sind.  

a) 16 = a * 2³ + b * 2² + c * 2 -4

Ableitung f ' = c+2 b x+3 a x^2  

b) 0 = c + 2b*(-4) + 3a * 4²  

c) f ' ' = 2b+6 a x

-2 = 2b - 6a | +6a+2  

6a = 2b + 2

a= b/3 +1/3  

Lösen des Gleichungssystems:

 a = -10/7

 b = -37/7

 c = 184/7

f(x) = -10/7 * x³  -37/7 x²  + 184/7*x -4   
http://www.gerdlamprecht.de/Roemisch_JAVA.htm

Comments

Ich hege Zweifel an der Lösung

Extrempunkt. Angaben
f ( 0 ) = -4
f ´( 0 ) = 0
hier kommt bei dir 184 / 7 heraus.

mfg Georg

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danke  georgborn -> ich hätte besser gleich die Kontrolle mache sollen...

falsch war: b) 0 = c + 2b*(-4) + 3a * 4²  nicht 4 sondern 0 einsetzen!

0 = c + 2b*(0) + 3a * 0²  -> d.h. c=0 

c) f ' ' = 2b+6 a x  linke Seite nicht -2 sondern Wendepunkt ist dort 0:

0 = 2b + 6a * (-1)  

6a = 2b -> b= 3a  

f(x) = pow(x,3)+3*x*x-4  

und statt der numerischen Ableitung habe ich mal die exakte symbolische Ableitung genommen: