Maximalen Flächeninhalt eines Dreiecks bestimmen. f(x) = x^3 - 6kx^2 + 9k^2 x k>0

Question

Ich habe eine Frage bei einer Mathehausaufgabe. Dabei will ich nicht die Lösung vorgesagt, sondern lediglich die Vorgehensweise erklärt bekommen, da ich bald mein Abi schreibe und wir die Wiederholung machen und nicht mehr alles ganz frisch ist.

 f(x) = x³ - 6kx² + 9k² x, wobei k>0

An den Graphen der Funktion f(0,5) wird im Punkt P (u/ f0,5 (u) ) (dabei 0,5 < u < 1,5) die Tangente gelegt. Diese schneidet die y-Achse in Sy. Der Ursprung bildet mit dem Punkt P und Sy ein Dreieck. 

Bestimme u so, dass der Flächeninhalt des Dreiecks OPSy maximal wird.

Wie soll ich dabei vorgehen?

Würde mich sehr über Antworten freuen. :)

!!

Comments

Hier fehlt sicherlich die Funktion.

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Tut mir leid!

Die Ausgangsfunktion ist: f(x) = x^3 - 6kx^2 + 9k^2 x k>0

Answer 1

Dabei will ich nicht die Lösung vorgesagt, sondern lediglich
die Vorgehensweise erklärt bekommen,

- Tangentengleichung für den Punkt ( u  | f ( u ) )  aufstellen
- Schnittpunkt der tangente mit der y-Achse berechnen
- das Dreieck berechnen

Bin gern weiter behilflich.

Comments

Ich merke, ich sollte noch einiges wiederholen..

Für die Tangentengleichung brauche ich ja die Steigung, also die 1. Ableitung. Da habe ich raus f`(x) = 3x^2 - 12kx + 9k^2. Wie mache ich das denn mit dem Punkt? Da blicke ich nicht ganz durch, tut mir leid. :(

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f ( x ) = x³ - 6kx² + 9k² x
f ´( x ) = 3 * x^2 - 12*k*x + 9 * k^2

Bemerkungen
0.)  Da blicke ich nicht ganz durch, tut mir leid. :(
Zur Weiterhilfe ist das Forum ja da

1.) Erschwerden kommt bei der Aufgabe hinzu das wir noch
einen Parameter k haben.

2.) Eventuell ist es sinnvoll ich zeichne noch eine Skizze

Der Schnittpunkt der Tangente mit der Funktion ist S.
Für diesen gilt
f ( u ) = t ( u )
f ´( u ) = t ´ (u )

f ( u ) = f ´( u ) * u + b

u³ - 6ku² + 9k² u = ( 3 * u^2 - 12*k*u + 9 * k^2 ) * u + b
u^3 - 6ku² + 9k² u = 3 * u^3 - 12*k*u^2 + 9k^2 u + b
- 2 * u^3 + 6ku^2 = b

Dreieck
( 0 | 0 )
( 0 | - 2 * u^3 + 6ku^2 )
( u  | f ( u )

Ich zeichne jetzt doch besser noch eine Skizze.

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Hier die Skizze.

Dreiecksfläche ist die Grundseite mal Höhe / 2.
Als Grundseite wird links b angenommen.
Der Abstand der Grundseite bis zum Schnittpunkt
ist u.
Die Dreiecksfläche ist b * u / 2

Im nächsten Schritt müßten wir noch das Maximal-
dreieck bestimmen.

Ist alles ganz schön kompliziert.
Einfacher wird es wenn man z.B. k = 2 setzt
und dann alles einmal durchrechnet.

Bin gern weiter behilflich.

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Wow!!! Soweit habe ich alles verstanden, vielen vielen Dank! :) 

Wie macht man nun als letzten Schritt die Berechnung des maximalen Flächeninhalts? :)

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F ( u ) = b * u / 2
F ( u ) = ( - 2 * u³ + 6ku² )  * u / 2

F ( u ) = - u^4 + 3 * k u^3  

F´ ( u ) = - 4 * u^3 + 9 * k u^2

- 4 * u^3 + 9 * k u^2 = 0
u^2 * ( -4 * u + 9k ) = 0
Ein Produkt ist dann 0 wenn mindestens einer der Faktoren 0 ist
u^2 = 0  => u = 0
-4 * u + 9k = 0
4 * u = 9k
u = 9k / 4

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Super, danke. Wobei ich nicht nachvollziehen kann, wie (-2 * u^3 + 6ku^2) * u / 2 (bei F (u) ) -u^4 + 3ku^3 ergeben kann. :o

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Oh okay, der Bruch wurde rausgekürzt. 

Ich danke Ihnen vielmals. War eine tolle Hilfe. :)

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Gern geschehen.
Nachbemerkung : hier im Forum wird meist das " du " verwendet.