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Was versteht man unter einem Hauptnenner?
Ein Hauptnenner (auch gemeinsamer Nenner oder kleinster gemeinsamer Vielfaches (kgV) genannt) ist ein Konzept aus der Bruchrechnung, das verwendet wird, um Brüche mit unterschiedlichen Nennern auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen. Dies ist besonders nützlich, wenn man Brüche addieren oder subtrahieren möchte.
Um den Hauptnenner zu finden, befolgt man die folgenden Schritte:
1.
Bestimme die Nenner der gegebenen Brüche: Wenn man z.B. die Brüche \(\frac{3}{4}\) und \(\frac{5}{6}\) hat, sind die Nenner 4 und 6.
2.
Finde das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner: Dies ist das kleinste Vielfache, das beide Nenner teilen. Das kleinste gemeinsame Vielfache von 4 und 6 kann durch die Multiplikation der Faktoren bestimmt werden:
- Die Primfaktorzerlegung von 4 ist \(2^2\).
- Die Primfaktorzerlegung von 6 ist \(2 \times 3\).
- Der Hauptnenner ist das Produkt der höchsten Potenzen aller Primfaktoren, die in den Zerlegungen vorkommen.
Also: \(2^2 \times 3 = 4 \times 3 = 12\).
3.
Passe die Brüche an den Hauptnenner an:
- Der Bruch \(\frac{3}{4}\) wird angepasst, indem der Zähler mit dem gleichen Faktor multipliziert wird, mit dem der Nenner multipliziert wird, um den Hauptnenner zu erreichen. Der Nenner 4 muss mit 3 multipliziert werden, um 12 zu ergeben. Also:
\(
\frac{3}{4} = \frac{3 \times 3}{4 \times 3} = \frac{9}{12}
\)
- Der Bruch \(\frac{5}{6}\) wird entsprechend angepasst. Der Nenner 6 muss mit 2 multipliziert werden, um 12 zu ergeben. Also:
\(
\frac{5}{6} = \frac{5 \times 2}{6 \times 2} = \frac{10}{12}
\)
Damit haben beide Brüche nun den Hauptnenner 12 und können problemlos addiert oder subtrahiert werden. Zum Beispiel:
\(
\frac{9}{12} + \frac{10}{12} = \frac{9 + 10}{12} = \frac{19}{12}
\)
Zusammenfassend ist der Hauptnenner der kleinste gemeinsame Nenner von zwei oder mehr Brüchen, der es ermöglicht, diese Brüche nach einer einfachen Umwandlung auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen. Dies vereinfacht die Arbeit mit Brüchen, insbesondere bei Addition und Subtraktion.
