differenzierbarkeit einer betragsfunktion auf ganz IR

Question

Hallo

Habe folgende Funktion f(x) = (Betrag(x))^3 mit f:ℝ→ℝund soll zeigen, dass f auf ganz ℝ stetig differenzierbar ist unter verwendung der definition von Differenzierbarkeit

Würde mich über jede Hilfe freuen :)

Answer 1

für x<0 ist ja  f(x) = -x^3 also diffb. mit f ' (x) = -3x^2.
für x>0 ist ja  f(x) = x^3 also diffb. mit f ' (x) = 3x^2.

Bleibt die Diffb.keit bei x=0. Definitionen für Differenzierbarkeit
gibt es viele. Hattet ihr vielleicht die mit dem h ?

Dann wäre bei x=0 der Differenzenzenqoutient

(f(o+h) - f(0)) /  h    =  |h^3| / h   = h^2 *   |h|/h
Für h gegen 0 geht h^2 gegen Null und   |h|/h ist beschränkt, also ist der
GW des Differenzenquotienten auch Null.

Damit ist f ' (x )         =         -3x^2  für x<0
                                     =         3x^2  für x>0
                                   =            0 für x=0

eine stetige Funktion ,  also f stetig diffb.