Betragsfunktion differenzierbar oder nicht

Question

 Ich habe zur Zeit in der Schule das Thema Differenzierbarkeit von Betragsfunktionen und ich verstehe einfach nicht, wie das funktioniert. Ein Beispiel:

Wir hatten die Aufgabe:

Untersuchen Sie f auf Differenzierbarkeit an der angegebenen Stelle a. Die Aufgabenstellung ist mir soweit klar, aber gegeben war:

a=1

f(x)= (1-x)*|1-x|

Dann haben wir die Aufgabe folgendermaßen gelöst:

f(x)= {1(-x)(1-x) für x ≤1 = {(-1-x)² für x≤1             {(1-x)(-1-x) für x>1 = {-(1-x)² für x>1

dann ging es weiter mit:

$$ \lim\limits_{a\to0} $$ (1-(1-h))²-0 /h =0

und

$$ \lim\limits_{a\to0} $$ -(1-(1-h))² -0/h=0

(die geschweifte Klammer auf beide Terme beziehen. Ich weiß nur nicht, wie man hier eine große geschweifte Klammer machen kann)

Dieser Schritt ist mir vollkommen unerklärlich. Ich versteh wirklich nicht, wie man darauf kommen soll. Danke für Antworten :D Ich bin echt langsam am Verzweifeln

Answer 1

Hallo

kritisch ist es ja nur der Punkt x=1, da aendert sich |x-1| deshalb brauchst du den lim von links und rechts des Differenzenquotienten an der Stelle, wenn er gleich ist, wie hier, ist die fkt. differenzierbar, 0 ist der Wert bei x=1

Gruß lul

Answer 2

Untersuchen Sie f auf Differenzierbarkeit an der angegebenen Stelle a.

 gegeben war:a=1     f(x)= (1-x)*|1-x|

Also betrachtest du den Differenzenquotient an der Stelle 1 :

( f(1+h) - f(1) )  / h     und prüfst, ob der für h gegen 0 einen Grenzwert hat.

Und zwar einmal für 1- h und einmal für 1+ h.

Deshalb hattet ihr diese Aufspaltung mit der geschweiften Klammer.

Das heißt nur:

1. Fall:   Für Zahlen kleiner gleich  1  gilt ( weil da der Term im Betrag

nicht negativ ist , da spielt der Betrag keine Rolle) gilt:  f(x) = (1-x)*|1-x| =(1-x)*(1-x) = (1-x)^2 .

Und  2. Fall:   für Zahlen größer   1  gilt ( weil da der Term im Betrag neg.  ist , da

wird aus |1-x| dann eben  ( -1+x)  also gilt dann  f(x) = (1-x)*|1-x| =(1-x)*(-1+x) = -(1-x)^2 .

So nun die Grenzwerte :  Wenn du von links an die Stelle a=1 herangehst, betrachtest du

für x Werte von der Form  1-h  . Da gilt dann von oben der 1. Fall.

Dann ist also f(1-h)=(1-(1-h))^2  ; denn du musst ja 1-h bei (1-x)^2

für das x einsetzen.  Und dann den Grenzwert vom Differenzenquotienten

bestimmen.  Das wäre dann (übrigens h gegen 0 nicht a gegen 0)

$$\lim\limits_{h\to0} \frac{(1-(1-h))^2-0 }{h} =\lim\limits_{h\to0} \frac{h^2 }{h} =\lim\limits_{h\to0} \frac{h }{1} =0$$

Und dann entsprechend für 1+h, das ist größer 1, also Fall 2 von oben und du

hast  f(1+h)= - (1-(1+h))^2  ; denn du musst ja 1+h bei -(1-x)^2 für x einsetzen:

$$\lim\limits_{h\to0} \frac{-(1-(1+h))^2-0 }{h} =\lim\limits_{h\to0} \frac{-h^2 }{h} =\lim\limits_{h\to0} \frac{-h }{1} =0$$

Also gibt es von rechts und von links an der Stelle a=1 den gleichen Grenzwert des

Differenzenquotienten und der ist 0, also  gilt hier f differenzierbar bei a=1 mit  f ' (1) = 0.

Siehst du auch am Graphen: Kein Knick:

~plot~  (1-x)*abs(1-x) ~plot~