Umkehrfunktion gesucht... Wurzel x * e^x

Question

gesucht ist die Umkehrfunktion von $$f(x)=\sqrt { x } { e }^{ x }$$

Bei dem Verfahren habe ich aber das Problem, dass ich das x nicht isoliert bekomme. Zuerst habe ich den ln angewendet, um das x aus der Potenz zu bekommen.. Nun steht dort aber $$ln(y)=ln(\sqrt { x } )*x$$, dort weiß ich nicht, wie ich das x isoliere.

Weiß jemand Rat?

Comments

Du hast falsch logarithmiert. Informiere dich bitte über die diesbezüglichen Regeln! Hättest Du richtig gerechnet, wärst Du allerdings auch nicht weiter gekommen.

Answer 1

Es handelt sich um eine transzendente Gleichung, die nicht algebraisch lösbar ist.

Approximation nach Newton wäre ein Weg.

Eine Umkehrfunktion daraus zu stricken ist kaum so leicht möglich.

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Eine Parameterkurve wäre allerdings ziemlich leicht zu konstruieren:

$$  x(t)= \sqrt t \cdot e^t $$$$y(t)= t $$

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Die Aufgabe sieht vor, zu zeigen, dass die Ableitung der Umkehrfunktion an der Stelle e gleich 2/3e ist... doch um die Ableitung bilden zu können, benötige ich ja die Umkehrfunktion...

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Nicht unbedingt.

Die Ableitung der Umkehrfunktion ist der negative Kehrwert der Ursprungsfunktion.

Aber aufpassen, an welcher Stelle, weil die Umkehrfunktion ja die an der Hauptdiagonalen gespiegelte Ursprungsfunktion ist.

Answer 2

Ich hoffe bei dir heißt es
dass die Ableitung der Umkehrfunktion an der Stelle e gleich 2/ ( 3e ) ist..

Ausgehend von
Umkehrfunktion [ Funktion ( x ) ] = x
f ( x ) = Funktion
g ( x ) = Umkehrfunktion
g [ f ( x ) ] = x
( g [ f ( x ) ] ) ´=  x ´
g ´ [ f ( x ) ] * f ´( x ) = 1
ergibt sich

mfg Georg

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Hallo Georg,

vielen Dank für Deine Mühe!

Was ich aber noch nicht verstehe, ist dies:

g ´ [ f ( x ) ] * f ´( x ) = 1 

Wieso gilt diese Gleichung?

Vielen Dank

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x = g [ f ( x ) ]

Ich weiß jetzt nicht genau wo deine Probleme sind, aber
ich hatte selbst welche.

Nehmen wir einmal an wir behandeln die obige Gleichung
wie eine Funktionsgleichung.
1 = g [ f ( 1 ) ]
2 = g [ f ( 2 ) ]
3 = g [ f ( 3 ) ]  usw.
Die Schaubild ist eine Gerade mit der Steigung 1.

Ich leite jetzt ab :
( g [ f ( x ) ] ) ´
Kettenregel bei
( g [ f ( x ) ] ) ` = g ´[ f ( x ) ]  *  f ´( x )

g ´ [ f ( x ) ]  *  f ´ ( x ) = 1

vielen Dank für Deine Mühe!
Bin Frührentner und habe genug Zeit.

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Ah, natürlich! Jetzt verstehe ich es.

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Gern geschehen. Viel Erfolg wünsche ich dir bei
der weiteren Vertiefung deiner Mathe-Kenntnisse.

... und hier immer schön fragen.