Aloha :)
Für \(0<a<b\) betrachten wir:$$f(b)-f(a)=\left(b-\frac{1}{b}\right)-\left(a-\frac{1}{a}\right)=\frac{b^2-1}{b}-\frac{a^2-1}{a}=\frac{(ab^2-a)-(a^2b-b)}{ab}$$$$=\frac{ab^2-a^2b-a+b}{ab}=\frac{ab(b-a)+(b-a)}{ab}=\frac{(\overbrace{ab}^{>0}+1)\overbrace{(b-a)}^{>0}}{\underbrace{ab}_{>0}}>0$$Aus \(0<a<b\) folgt also \(f(b)-f(a)>0\) bzw. \(f(a)<f(b)\). Die Funktion ist also streng monoton steigend.
Zur Bildung der Umkehrfunktion vertauschst du \(x\) und \(y\) und stellst die Gleichung dann nach \(y\) um:
$$\left.y=f(x)=x-\frac{1}{x}\quad\right|\quad\text{\(x\) und \(y\) vertauschen}$$$$\left.x=y-\frac{1}{y}=\frac{y^2-1}{y}\quad\right|\quad\cdot y$$$$\left.xy=y^2-1\quad\right|\quad-xy+1$$$$\left.1=y^2-xy\quad\right|\quad+\frac{x^2}{4}$$$$\left.1+\frac{x^2}{4}=y^2-xy+\frac{x^2}{4}\quad\right|\quad\text{2-te binomische Formel rechts}$$$$\left.1+\frac{x^2}{4}=\left(y-\frac{x}{2}\right)^2\quad\right|\quad\sqrt{\cdots}$$$$\left.\pm\sqrt{1+\frac{x^2}{4}}=y-\frac{x}{2}\quad\right|\quad+\frac{x}{2}$$$$\left.y=\frac{x}{2}\pm\sqrt{1+\frac{x^2}{4}}\quad\right.$$Da der Definitionsbereich von \(f\) nur die positiven reellen Zahlen sind, wählen wir die Umkehrfunktion auch so, dass sie stets positiv ist:$$f^{-1}(x):\mathbb R\to\mathbb R^{>0}\;;\;x\to\frac{x}{2}+\sqrt{1+\frac{x^2}{4}}$$
